gemiddelde van stochasten

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Het gemiddelde van meerdere stochasten.

Makkelijk voorafje:

Als je tien keer met een dobbelsteen gooit, en het gemiddelde van al die aantallen berekent, wat verwacht je dan dat daar uit komt?

Ik hoop dat je dit nogal logisch vindt: als je één keer met een dobbelsteen gooit, dan verwacht je gemiddeld
^{(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 )}/₆ = 3,5 te gooien. Maar bij 10 keer gooien is dat natuurlijk nog steeds zo!!
Ook bij 8 keer gooien of 100 keer gooien of 23459643 keer gooien of ...... verwacht je gemiddeld 3,5 krijgen.

Wat is dan het verschil?

Het verschil zit hem in de afwijking van dat gemiddelde.

Kijk, als je één keer gooit verwacht je gemiddeld 3,5 maar je kijkt natuurlijk niet vreemd op als je 5 gooit, en er dus een stuk naast zit. Maar als je honderd keer gooit, dan vind je het hopelijk wél merkwaardig als je gemiddeld 5 hebt gegooid.......!!!! Zelfs 4 gemiddeld zou ik dan al raar vinden, en dan zou ik waarschijnlijk al gaan twijfelen aan de zuiverheid van de dobbelsteen.

Kortom: als het aantal experimenten (n) groter wordt, dan verwacht je minder fluctuatie in het gemiddelde daarvan.
Wiskundig betekent dat dat de standaarddeviatie van het gemiddelde van n metingen kleiner zal worden als n groter wordt.

Maar hoevéél kleiner?

Dat is makkelijk te beredeneren als je je maar bedenkt hoe je dat gemiddelde van n metingen uitrekent.
Volgens mij tel je dan alle n metingen bij elkaar op, en deelt door n om het gemiddelde te krijgen.
Laten we die beide stappen even apart bekijken:

• Als je n metingen bij elkaar optelt, dan wordt de standaarddeviatie σ_som = σ√n

• Als je dat getal daarna deelt door het getal n wordt de standaarddeviatie óók gedeeld door n

De conclusie is:

E_G = E

OPGAVEN

Bereken van bovenstaand voorbeeld (gemiddeld aantal ogen van een dobbelsteen) de standaarddeviatie bij 1 keer gooien, bij 10 keer gooien en bij 100 keer gooien.

1,71 en 0.22 en 0.71

Als je met een muntstuk gooit en het aantal keer "KOP" telt, dan zal dat gemiddeld natuurlijk gelijk zijn aan 0,5.

Hoe groot is de standaarddeviatie van dat gemiddelde als je 20 keer gooit?

0.11

Hoe vaak moet je gooien zodat de standaarddeviatie minder dan 0,01 is?

> 2500 keer

Van alle autorijders 's nachts heeft 5% een te hoog alcoholpromillage. Verder is bekend dat van 12% van de autorijders de papieren niet in orde zijn.
De eerste overtreding geeft een boete van €120,- en de tweede een boete van €80,-
Natuurlijk zijn er ook automobilisten die beide bekeuringen krijgen!
Neem aan dat er geen verband tussen beide overtredingen is.

Op een nacht controleert de politie 140 auto's.

Leg uit waarom de gemiddelde boete per automobilist gelijk is aan €15,60

Bereken de standaarddeviatie van dit bedrag.

€3,12

Bij een kermisattractie mag je de schijf hiernaast draaien en krijg je het bedrag dat bij de pijl verschijnt. Als de pijl in het oranje gebied staat mag je nog een keer draaien. Dat geldt maar één keer, dus daarna wéér oranje levert niets meer op.
Om te mogen spelen moet je €6,50 betalen.

Hoe groot is de gemiddelde winst die de exploitant per spel verwacht te krijgen?

€ 0,25

Hoe groot is de standaarddeviatie van die gemiddelde winst per spel?

€ 5,09

Hoeveel mensen moeten er op een avond meespelen zodat de standaarddeviatie van de winst van de exploitant kleiner is dan de verwachte winst zélf?

> 414

In een vaas zitten 16 rode en 9 witte knikkers. Iemand haalt er elke ochtend, zonder terugleggen, twee willekeurige knikkers uit, kijkt hoeveel roden daarbij zijn, en legt ze weer terug.

Bereken de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie van het aantal rode knikkers dat op een dag gepakt wordt.

Bereken de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie van het gemiddeld aantal rode knikkers per dag dat over in periode van 20 dagen gepakt wordt.