|
|
De top van een parabool. |
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|
|
|
De algemene formule van een
parabool is y = ax2 + bx + c
Deze les zullen we zien hoe je makkelijk de top van zo'n parabool
kunt bepalen. Daarvoor maken we gebruik van het feit dat de symmetrieas
van een parabool door de top loopt.
Zie de figuur hiernaast.
In drie stappen berekenen we de x-coördinaat van de top van een
parabool: |
|
|
|
1. |
Bereken het snijpunt (P)
met de y-as |
2. |
Bereken het andere snijpunt van
de horizontale lijn door P met de parabool. |
3. |
De top ligt daar midden tussen
in. |
|
|
|
Zo, dat was in woorden, nu in
formules, uitgaande van y = ax2 + bx+
c
stap 1: x = 0 geeft y = c
stap 2: y = c geeft c =
ax2 + bx + c ⇒
ax2 + bx = 0 ⇒
x(ax + b) = 0 ⇒
x = 0 ∨ ax + b
= 0
⇒ x = 0
∨ x = -b/a
stap 3: midden tussen x = 0
en x = -b/a
zit de waarde x = 1/2
• -b/a = -b/2a
en dat is de x van de top.Deze drie stappen hebben het
voordeel dat er verder geen andere wiskunde voor nodig is. 't Is alleen
maar logisch redeneren en invullen in de formule. De enige "voorkennis"
die we gebruiken is het feit dat een parabool een verticale symmetrieas
door de top heeft (anders zou stap 3 immers niet gelden). |
|
|
voor de parabool
y = ax2 + bx + c
geldt: xTOP
= - b/2a |
|
|
|
De y-coördinaat van die
top kun je daarna natuurlijk makkelijk vinden door xTOP
in de formule van de parabool in te vullen. |
|
|
Voorbeeld.
De parabool y = 3x2 - 12x + 20
heeft xTOP = - -12/(2 •
3) = 2 en dus yTOP = 3 • 22 -
12 • 2 + 20 = 8
De top is dus het punt (2,8) |
|
|
|
|
|
|
1. |
Bereken de coördinaten van de top van de
volgende parabolen: |
|
|
|
|
|
a. |
y = -2x2 + 28x
+ 8 |
|
|
b. |
y = 5x2 + 60x
- 125 |
|
|
c. |
y = x2 - 12x
+ 4 |
|
|
d. |
y = 0,5x2 - 4x
+ 1 |
|
|
|
|
|
2. |
Gegeven is de parabool y
= 2x2 + px + q.
Bereken p en q als de top van de parabool het
punt (-3, 20) is. |
|
|
|
|
3. |
De parabool y = -2x2
+ ax + 1 heeft maximum 9. Bereken
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Van de parabool y = 3x2
+ px - 6 ligt de top op de lijn y =
x - 8.
Bereken de coördinaten van die top. |
|
|
|
(-1, -9) of (2/3
, -71/3) |
|
|
|
|
|
5. |
Van de parabool y =
ax2 + x + a ligt de top op de x-as.
Bereken de coördinaten van die top. |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
De parabolen y = px2
+ 2x + 2q en y = 8x2
+ px + q hebben dezelfde top.
Bereken p en q. |
|
|
|
p = 4, q = -1/4
p = -4, q = -3/4 |
|
|
|
|
|
7. |
Hiernaast zie je in één
figuur de twee lijnen y = 2x - 1 en
y = 4 - x.
In het gebied dat wordt begrensd door deze twee lijnen en de
x-as is een rechthoek getekend waarvaan één zijde op
de x-as ligt en waarvan twee punten op de beide lijnen
liggen.
Stel dat de linkerzijde van de rechthoek zich bevindt bij x
= p.
Dan geldt voor de oppervlakte O van de rechthoek O = -6p2
+ 13p - 5 |
|
|
|
|
|
a. |
Toon aan dat deze formule klopt. |
|
|
|
|
b. |
Bereken de maximale oppervlakte van zo'n
rechthoek. |
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Hiernaast staat de lijn
y = 4 - 1,5x getekend, met daaronder een rechthoek
waarvan één zijde op de x-as ligt, en een hoekpunt op de
gegeven lijn.
Als de x-coördinaat van dat hoekpunt gelijk is aan p,
dan geldt voor de oppervlakte O van deze rechthoek:
O = 4p - 1,5p2 |
|
|
|
|
|
a. |
Toon dat aan. |
|
|
|
|
b. |
Bereken de maximale oppervlakte van zo'n
rechthoek. |
|
|
|
|
c. |
Voor welke p is de oppervlakte van de
rechthoek gelijk aan 2,66? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Een kromme door de toppen. |
|
|
|
|
Als je een hele serie parabolen hebt doordat
er een parameter in de formule staat, dan geeft dat dus ook een hele
serie grafieken.
Hiernaast zie je de grafieken van y = x2
+ px - 2.
Als je kijkt naar de plaats van alle toppen van deze grafieken dan lijkt
het wel alsof die toppen óók weer op een parabool liggen (de rode
hiernaast).
En dat is ook zo.
De vraag is natuurlijk: Hoe bewijzen we dat en hoe vinden we een
vergelijking van deze "toppenparabool"? |
|
|
|
Dat gaat zó:
Als y = x2 + px - 2
dan geldt voor de top xT = - p/2
Nu drukken we eerst p uit in xT:
p = -2xT
Als we de y van de top bekijken dan moeten we xT
invullen in de formule: yT = xT2
+ pxT - 2
Samen met p = -2xT geeft dat yT
= xT2 - 2xT • xT
- 2 ⇒ yT =
-xT2 - 2
Omdat de coördinaten van alle toppen aan deze vergelijking voldoen is
dat dus de vergelijking van de gezochte "toppenparabool"
Om zo'n "toppenkromme" te vinden gebruiken we dus dit stappenplan: |
|
|
• xT = -b/2a
• Druk de parameter uit in xT
• Invullen in de paraboolvergelijking |
|
|
|
|
|
9. |
Geef vergelijkingen van de kromme waar de toppen
van de volgende parabolen op liggen: |
|
|
|
|
|
a. |
y = -4x2 + px +
1 |
|
|
b. |
y = 2x2 - px +
p |
|
|
c. |
y = px2 + 2x - 3 |
|
|
d. |
y = px2 - 4x +
p2 |
|
|
|
|
|
10. |
Gegeven
zijn de parabolen: y
= x2 + bx
- 6 |
|
|
|
|
|
a. |
Eén van deze
parabolen heeft de top bij x = -5.
Bereken algebraïsch de y-coördinaat van die top. |
|
|
|
|
|
b. |
Het blijkt dat er
maar vier zulke parabolen zijn die een snijpunt met de x-as
hebben waarvoor x een geheel getal is. Leg door ontbinden uit
waarom dat zo is en welke vier parabolen dat zijn. |
|
|
|
|
|
c. |
De toppen van al
deze parabolen liggen op een nieuwe parabool.
Bewijs dat dat zo is en geef de vergelijking van deze nieuwe parabool. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|
|
|
|
|
|
|