De top van een parabool.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
De algemene formule van een parabool is  y = ax2 + bx + c

Deze les zullen we zien hoe je makkelijk de top van zo'n parabool kunt bepalen. Daarvoor maken we gebruik van het feit dat de symmetrieas van een parabool door de top loopt.

Zie de figuur hiernaast.
In drie stappen berekenen we de x-coördinaat van de top van een parabool:

   
1. Bereken het snijpunt (P)  met de y-as
2. Bereken het andere snijpunt van de horizontale lijn door P met de parabool.
3. De top ligt daar midden tussen in.
     
Zo, dat was in woorden, nu in formules, uitgaande van  y = ax2 + bx+ c

stap 1:  x = 0   geeft  y =  c
stap 2:  y = c  geeft   c = ax2 + bx + c ⇒  ax2 + bx = 0  ⇒ x(ax + b) = 0  ⇒  x = 0  ∨  ax + b = 0 
            ⇒ x = 0  ∨  x = -b/a  
stap 3:   midden tussen  x = 0  en  x = -b/a   zit  de waarde  x = 1/2 • -b/a  =  -b/2a  en dat is de x van de top.

Deze drie stappen hebben het voordeel dat er verder geen andere wiskunde voor nodig is. 't Is alleen maar logisch redeneren en invullen in de formule. De enige "voorkennis" die we gebruiken is het feit dat een parabool een verticale symmetrieas door de top heeft (anders zou stap 3 immers niet gelden).
   

voor de parabool   y = ax2 + bx + c   geldt:    xTOP = - b/2a
   
De y-coördinaat van die top kun je daarna natuurlijk makkelijk vinden door xTOP in de formule van de parabool in  te vullen.
   
Voorbeeld.
De parabool  y = 3x2 - 12x + 20  heeft  xTOP = - -12/(2 • 3) = 2  en dus  yTOP = 3 • 22 - 12 • 2 + 20 = 8
De top is dus het punt  (2,8) 
   
       
1. Bereken de coördinaten van de top van de volgende parabolen:
       
  a. y =  -2x2 + 28x + 8
(7, 106)
  b. y =  5x2 + 60x - 125
(-6, -305)
  c. y =  x2 - 12x + 4
(6, -32)
  d. y =  0,5x2 - 4x + 1
(4, -7)
       
2. Gegeven is de parabool  y =  2x2 + px + q.
Bereken p en q als de top van de parabool het punt  (-3, 20) is.
     
12 en 38
3. De parabool  y = -2x2 + ax + 1  heeft  maximum  9.  Bereken a
     
a = ±8
       
4. Van de parabool  y = 3x2 + px - 6  ligt de top op de lijn  y = x - 8.
Bereken de coördinaten van die top.
     
(-1, -9) of (2/3 , -71/3)
       
5. Van de parabool  y = ax2 + x + a ligt de top op de x-as.
Bereken de coördinaten van die top.
     

(-1, 0)  of  (1, 0 )
       
6. De parabolen  y = px2 + 2x + 2q  en   y = 8x2 + px + q  hebben dezelfde top.
Bereken p en q.
     
p = 4,  q = -1/4
p = -4, q = -3/4
       
7. Hiernaast zie je in één figuur de twee lijnen y = 2x - 1  en  y = 4 - x.
In het gebied dat wordt begrensd door deze twee lijnen en de x-as is een rechthoek getekend waarvaan één zijde op de x-as ligt en waarvan twee punten op de beide lijnen liggen.

Stel dat de linkerzijde van de rechthoek zich bevindt bij x = p.

Dan geldt voor de oppervlakte O van de rechthoek  O = -6p2 + 13p - 5
     
  a. Toon aan dat deze formule klopt.
     
  b. Bereken de maximale oppervlakte van zo'n rechthoek.
   
49/24
       
8. Hiernaast staat de lijn y = 4 - 1,5x getekend, met daaronder een rechthoek waarvan één zijde op de x-as ligt, en een hoekpunt op de gegeven lijn.
Als de x-coördinaat van dat hoekpunt gelijk is aan p, dan geldt voor de oppervlakte O van deze rechthoek:  O = 4p - 1,5p2
     
  a. Toon dat aan.
     
  b. Bereken de maximale oppervlakte van zo'n rechthoek.
   
8/3
  c. Voor welke p is de oppervlakte van de rechthoek gelijk aan 2,66?
   
1,4 of  19/15
       
       
Een kromme door de toppen.
   
   
Als je een hele serie parabolen hebt doordat er een parameter in de formule staat, dan geeft dat dus ook een hele serie grafieken.

Hiernaast zie je de grafieken van  y = x2 + px - 2.

Als je kijkt naar de plaats van alle toppen van deze grafieken dan lijkt het wel alsof die toppen óók weer op een parabool liggen (de rode hiernaast).

En dat is ook zo.

De vraag is natuurlijk:  Hoe bewijzen we dat en hoe vinden we een vergelijking van deze "toppenparabool"?
   
Dat gaat zó:
Als   y = x2 + px - 2  dan geldt voor de top  xT = - p/2
Nu drukken we eerst p uit in xT:   p = -2xT
Als we de y van de top bekijken dan moeten we xT invullen in de formule:  yT = xT2 + pxT - 2
Samen met p = -2xT geeft dat  yT = xT2 - 2xT • xT - 2  ⇒  yT =  -xT2 - 2
Omdat de coördinaten van alle toppen aan deze vergelijking voldoen is dat dus de vergelijking van de gezochte "toppenparabool"
Om zo'n "toppenkromme" te vinden gebruiken we dus dit stappenplan:
   
•  xT = -b/2a
•  Druk de parameter uit in  xT
•  Invullen in de paraboolvergelijking
   
   
9. Geef vergelijkingen van de kromme waar de toppen van de volgende parabolen op liggen:
       
  a. y = -4x2 + px + 1

y = 4x2 + 1
  b. y = 2x2 - px + p

y = -2x2 + 4x
  c. y = px2 + 2x - 3

y = x - 3
  d. y = px2 - 4x + p2

y = -2x + 4/x2
       
10. Gegeven zijn de parabolen:  y = x2  + bx - 6
       
  a. Eén van deze parabolen  heeft de top bij  x = -5.
Bereken algebraïsch de y-coördinaat van die top.
     

y = -31
  b. Het blijkt dat er maar vier zulke parabolen zijn die een snijpunt met de x-as hebben waarvoor x een geheel getal is. Leg door ontbinden uit waarom dat zo is en welke vier parabolen dat zijn.
     

b = -1, 1, -5, 5
  c. De toppen van al deze parabolen liggen op een nieuwe parabool.
Bewijs dat dat zo is en geef de vergelijking van deze nieuwe parabool.
     

y = -x2 - 6
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)