© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
Vectoren bij parameterkrommen
       
Een parameterkromme was een vergelijking van een kromme K die er zó uitzag:
     

       
En op die stippeltjes stonden dan vergelijkingen met t.
Deze vergelijkingen beschrijven hoe de x-coördinaat en de y-coördinaat van een punt P dat beweegt over deze kromme afhangen van de tijd t.

Maar samen geven die twee coördinaten natuurlijk ook precies de vector OP aan.
Je kunt zo'n parametervergelijking daarom ook zien als een vector OP die in de tijd verandert.
Die vector OP noemen we dan de plaatsvector van punt P.

Hieronder staat dus twee keer precies het zelfde:
       

       
Snelheid.
       
Als x(t) de x-coördinaat van punt P voorstelt, dan is is de afgeleide ervan,  x '(t) , de snelheid in de x-richting. En op dezelfde manier is  y '(t) de snelheid in de y-richting.
       

       
Bedenk goed dat dit een vector is, dus dat die een grootte en een richting heeft.
       
· De grootte van de vector is de lengte ervan en dat is de baansnelheid.
De lengte van een vector kun je eenvoudig met Pythagoras berekenen.
Dat geeft dan in dit geval:    baansnelheid = Ö(x'2 + y'2). Een formule die we al in een eerdere les tegenkwamen.
       
· De richting van deze snelheidsvector kun je gebruiken om de r.c. van de raaklijn van de baan te berekenen. 
Dat doe je dan (zoals we bij parameterkrommen al zagen) door  r.c. = y'/x' te gebruiken.
Of de richting kun je gebruiken om om hoeken waaronder de baan andere krommen snijdt berekenen. Dat doe je dan met de cosinusformule om de hoek tussen twee vectoren te berekenen. Ook dat hebben we al in een eerdere les  gedaan.
       
Voorbeeld.
Punt K volgt de baan van de parameterkromme  
x(t) = 12 - t2  en   y(t) = t 3 + 2t

Geef de baansnelheid en de vergelijking van de raaklijn in het punt waar t = 2

Oplossing:
x '(t) = -2t  dus  x '(2) = -4
y '(t) = 3t2 + 2  dus  y '(2) = 14
De baansnelheid is  Ö(142 + (-4)2) = Ö212
De r.c. van de raaklijn is  14/-4 = -3,5
voor t = 2 gaat de kromme door  (8, 12)
12 = -3,5 · 8 + b geeft  b = 40 dus de raaklijn is de lijn  y = -3,5x + 40
       
Versnelling.
       
Als je de snelheden in de x- en y-richting nog een keer differentieert dan krijg je de versnelling in die richting,
Samen vormen die dan weer de bersnellingsvector (meestal aangegeven met de letter a van acceleration).
       

       
Die versnelling is natuurkundig interessant omdat het niet alleen iets over de beweging zgt, maar ook over de kracht die op punt P wordt uitgeoefend.  (volgens de beroemde wet  F = m ·a).
Die kracht zorgt ervoor dat de snelheid punt P van richting verandert of dat die snelheid groter wordt (als de versnelling in dezelfde richting als de snelheid werkt) of juist kliner (als de versnelling in tegengestelde richting va de snelheid werkt wordt punt P afgeremd).
       
We zijn daarom vaak geïnteresseerd in de baanversnelling van punt P
Dat is de component van de versnelling die in de richting van de snelheidsvector loopt. 
Zie de figuur hiernaast.
De versnelling a is opgebouwd uit de baanversnelling ab in de richting van de snelheid en de versnelling a^ loodrecht op de snelheid.
De baanversnelling zorgt ervoor dat punt P versnelt of vertraagt. De loodrechte versnelling zorgt ervoor dat de baan van punt P afbuigt.

       
Voor de baanversnelling  ab geldt  ab = |a| · cos(a)
Daarin is ab dus de grootte van de baanversnelling, en is |a| de grootte van de versnelling
Maar voor de cosinus van de hoek tussen twee vectoren  (in dit geval a en v) hebben we ook al een formule gehad:
In dit geval geeft dat: 
Je ziet dat je die formule nog kunt vereenvoudigen omdat  |v|  wegvalt.
Ik zou deze formule niet gaan onthouden!
Het is goed genoeg als je weet dat ab de projectie van a op v is, en dan kom er met die
ab = |a| · cos(a) en die cosinusformule wel uit.
       
Voorbeeld.

Bereken in het vorige voorbeeld ook de baanversnelling op t = 2

Oplossing:
x ''(t) = -2
y ''(t) = 6t dus  y''(2) = 12
Dat geeft:  
(a = 6,5°)
ab =  Ö148 · 0,993 ≈ 12,1
Aan het plus-teken van ab kun je zien dat de beweging van punt P op t = 2 versneld wordt.
       
 
 
OPGAVEN
       
1. Kromme K wordt gegeven door de bewegingsvergelijkingen:
x(t) = 10 - 2t2  en   y(t) = 12t - t3

Bereken de baanversnelling op t = 1
       
2. Kromme K wordt gegeven door de bewegingsvergelijkingen:
x(t) = t - 2t2  en  y(t) = t3
       
  a. Onderzoek voor welke waarden van t de versnellingsvector en de snelheidsvector een inproduct hebben dat positief is.
Leg uit wat dat betekent voor de snelheid van punt P
       
  b. Stel een vergelijking op voor de baansnelheid van punt P en bereken met die vergelijking voor welke t de baansnelheid minimaal is.
       
3. Kromme K wordt gegeven door de bewegingsvergelijkingen:
x(t) = cos(t)  en   y(t ) = sin(t + 1/6p)
       
  a. Bereken de coördinaten van de snijpunten van K met de x- as
       
  b. Bereken met behulp van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn de hoek die kromme K maakt met de positieve x-as.
       
  c. Bereken met behulp van de snelheidsvector van K de hoek die kromme K maakt met de positieve x-as.
       
  d. Bereken voor welke waarden van t de baanversnelling nul is.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)