Voorraadmodellen

ฉ h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Een winkelier wil natuurlijk niet graag "nee" tegen een klant hoeven te zeggen. Hij wil uiteraard graag dat als een klant iets wil kopen, hij dat ook in voorraad heeft. Daarom heeft hij een extra voorraad artikelen in zijn magazijn opgeslagen. Maar daar zijn ook nadelen aan verbonden.
De voorraad moet niet te groot zijn.
Bij een te grote voorraad kost dat veel opslagruimte, en verder ook renteverlies, immers het spul is al betaald en met dat geld gebeurt een poosje helemaal niets. Ook moet de voorraad natuurlijk verzekerd worden.

De voorraad moet niet te klein zijn.
Bij een kleine voorraad moet de winkelier vaak bestellingen doen en dat kost geld, immers er moet een vrachtwagen heen en weer rijden naar zijn winkel, en hoe vaker dat moet, hoe duurder.
Een model.

Laten we het eenvoudige, versimpelde, geval bekijken van een winkelier die een artikel verkoopt dat niet kan bederven, bijvoorbeeld koekenpannen.
Neem aan dat hij in een jaar in totaal 8000 pannen verkoopt, mooi regelmatig verdeeld over het hele jaar. De voorraadkosten  bestaan uit vaste kosten van €2000,- voor zijn magazijn en verder voor elke pan per jaar €2,- (renteverlies, verzekering e.d.)
Als de man een bestelling bij de groothandel doet, dan kost het rijden en vervoeren hem in totaal €60,- (onafhankelijk van het aantal pannen).
Laten we eerst aannemen dat de man besluit zijn pannen te bestellen in 4 porties van 2000 pannen, mooi verspreid over het jaar. Dan ziet de grafiek van het aantal pannen in zijn magazijn als functie van het dagnummer eruit als hiernaast.
Je ziet dat er gemiddeld 1000 pannen aanwezig zijn.
bestelgrootte B ⇒ gemiddelde voorraad 1/2B
Bij een gemiddelde voorraad van 2000 pannen zijn de totale "variabele" voorraadkosten gelijk aan  2000 • 2 = €4000

gemiddelde voorraad 1/2B en voorraadkosten v per stuk ⇒   variabele voorraadkosten  1/2B • v
Verder zie je dat er bij een bestelgrootte van 2000 pannen 8000/2000 = 4 keer een vrachtwagen moet rijden, dus dat geeft bestelkosten  4 • 60 = €240.

bestelgrootte B  en  totaal T  per jaar  ⇒  T/B bestellingen
T/B bestellingen en kosten per bestelling k  ⇒  bestelkosten  k • T/B

De totale kosten voor de winkelier zijn nu:  vaste voorraad + variabele voorraad + bestel =  2000 + 4000 + 240 = €6240.
K = V + 1/2B • v + k • T/B
   • K = kosten.
   • V = vaste voorraadkosten.
   • B = bestelgrootte.
   • v = voorraadkosten per stuk.
   • k = kosten per bestelling.
   • T = totale aantal.
In dit voorbeeldgeval valt alleen B nog te kiezen, en wordt de formule:  
K = 2000 + 1/2B • 2 + 60 • 8000/B = 2000 + B + 480000/B
De optimale bestelgrootte is die waarvoor de totale kosten minimaal zijn.
Dat kun je op twee manieren vinden:
manier 1:
plot de grafiek van K(B) en gebruik  calc - minimum van je grafische rekenmachine. Hiernaast zie je dat de optimale bestelgrootte gelijk is aan 693 pannen en dat kost €3364,64

manier 2:
een minimum van een functie kun je vinden door de afgeleide ervan gelijk aan nul te stellen.

K(B) = 2000 + B + 480000 • B-1  dus  K' (B) = 1 - 480000 • B-2  =  1 - 480000/Bฒ
K' = 0  ⇒  480000/Bฒ = 1  ⇒  B2 = 480000  ⇒  B = √(480000) ≈ 693 pannen.
1. De eigenaresse van een gereedschapswinkel verkoopt per jaar 800 hamers. De verkoop gaat regelmatig. Haar voorraad hamers slaat ze op in een magazijn waarvan de vaste kosten gelijk zijn aan  €600,- per jaar. Verder zijn de variabele opslagkosten per hamer per jaar gelijk aan €0,80.
Ze bestelt haar hamers bij een groothandel, en elke bestelling kost  €45,-. Ze bestelt een vast aantal keer per jaar een vast aantal hamers.
Geef een formule voor de totale bestel- en voorraadkosten per jaar als functie van de bestelgrootte, en bereken bij welke bestelgrootte haar kosten minimaal zijn.

B = 300
2. Een winkelier in kantoorartikelen verkoopt nietmachines. Per jaar verkoopt hij er 20000. De verkoop verloopt tot nu toe regelmatig. De opslagkosten zijn €0,80 per stuk. Een bestelling bij de fabriek kost €80,- 
     
a. Zijn vaste opslagkosten zijn niet gegeven. Leg uit waarom dat voor de optimale bestelgrootte er niet toe doet.
       
b. Bereken zijn optimale bestelgrootte.

B=1897
3. De formule van Camp (al gepubliceerd in 1922) is een formule uit de economie om de bestel- en voorraadkosten te berekenen. In zijn klassieke vorm ziet hij er z๓ uit:

Daarin is  Q = kosten,  D = totaal aantal producten per jaar, F = kosten per bestelling, P = verkoopprijs en h = voorraadkosten als deel van de verkoopprijs.
     
a. Leg uit hoe de formule van Camp volgt uit de theorie hierboven.

   
Als je de voorraadkosten 1/2Bv en de bestelkosten  k • T/B samen in ้้n grafiek met de totale kosten plot, dan krijg je een figuur als hiernaast.
Het lijkt erop dat het minimum van de totale kosten zich bevindt op de plaats van het snijpunt van de andere twee grafieken.
b. Toon aan dat dat inderdaad altijd zo is
           
4. Kampeerwinkel de Bever heeft een eigen atelier waar de eigen-merk tenten worden gemaakt.
Het betreft hier drie modellen:  een koepeltent, een tunneltent en een hybride tent.
Er is maar ้้n productielijn die dus steeds op een ander soort tent moet worden afgesteld.  Dat afstellen kost  €800,- per keer.
Al jaren lang heeft men de geproduceerde series zo klein genomen dat alle tenten direct konden worden verkocht en er dus geen voorraadkosten waren. Maar nu vraagt men zich af of het misschien niet beter is om grotere series te gaan maken.

Van de koepeltenten verkoopt men er 4000 per jaar, en de eventuele opslagkosten voor zo'n tent zijn €7,- per jaar.
Neem aan dat de tenten gelijkmatig over het hele jaar worden verkocht, en dat de vaste voorraadkosten gelijk zijn aan  €2000,-
           
  a. Bereken de totale kosten als men series van 400 gaat maken.
         

11400
  Voor de totale kosten K als functie van de seriegrootte n geldt:
           
 

           
  b. Toon dat aan.      
           
  c. Bereken algebra๏sch bij welke seriegrootte de kosten minimaal zijn.
         

956
           
5. Examenvraagstuk HAVO, wiskunde A, 2005.

Een winkelier verkoopt per jaar 1200 dvd-spelers, gelijkmatig over het jaar verspreid. E้n groothandel levert die dvd-spelers aan de winkelier. Elke keer als de groothandel een bestelling dvd-spelers aflevert, is de voorraad precies op. Voor iedere bestelling rekent de groothandel 400 euro bestelkosten, onafhankelijk van het bestelde aantal dvd-spelers.
Het in voorraad houden van een dvd-speler kost de winkelier 16 euro per jaar.

Er is niet genoeg magazijnruimte om alle 1200 dvd-spelers in ้้n keer te bestellen. Dat is ook duur, want het zou betekenen dat er in dat jaar een gemiddelde voorraad zou zijn van 1/2 • 1200 dvd-spelers.
Dat zou 1 ื 400 + 1/2 ื 1200 ื 16 = 10000 euro kosten voor het bestellen en in voorraad houden.
Het lijkt goedkoper als de winkelier vaker per jaar een klein aantal dvd-spelers bestelt.

De winkelier overweegt om 100 dvd-spelers per maand te bestellen.
           
  a. Bereken op de hierboven beschreven manier de totale kosten per jaar voor het bestellen en in voorraad houden.
         

5600 euro
  Het aantal dvd-spelers dat de winkelier per keer bestelt noemen we x. De winkelier bestelt elke keer evenveel dvd-spelers. De totale kosten in euro per jaar voor het bestellen en in voorraad houden van de dvd-spelers noemen we K.
Met de volgende formule kan de winkelier K berekenen:
 

           
  b. Leid deze formule af uit de gegevens over bestelkosten en voorraadkosten van de 1200 dvd-spelers.
           
  c. Stel de afgeleide van K op en toon met behulp van die afgeleide aan dat de kosten K minimaal zijn bij een bestelling van 245 dvd-spelers per keer.
           
  Een bestelling van 245 dvd-spelers per keer is wel mogelijk, maar is onhandig voor de groothandel. De groothandel wil liever op vaste tijden leveren, bijvoorbeeld eens per maand of eens per twee maanden. Als de winkelier per een geheel aantal maanden bestelt krijgt hij van de groothandel 10% korting op de bestelkosten.
           
  d. Welke manier is voor de winkelier het voordeligst? Licht je antwoord toe met een berekening.
           
   
           
H้?? Wat doet d้ze stelling hier nou???
     
Een aardige meetkundestelling zegt het volgende:
     

Bij gegeven oppervlakte is het vierkant de rechthoek met de kleinste omtrek.

     
Altijd leuk om te weten natuurlijk, maar wat heeft dat in vredesnaam met voorraadbeheer te maken?

Nou, als we de lengte en de breedte van een willekeurige rechthoek l en b noemen, en de oppervlakte gelijkstellen aan de constante c, dan geldt  l • b = c  dus  l = c/b
De omtrek is 2l + 2b en die is dan gelijk aan  2c/b + 2b
Die is minimaal als de afgeleide nul is:  -2c/b2 + 2 = 0  ⇒  c/b2 = 1  ⇒  b = √c
Maar dan is l = c/b = c/√c = √c
l en b zijn inderdaad gelijk!

conclusie:  als voor twee variabelen geldt dat  xy = c  dan is  x + y  minimaal voor x = y.

Maar in ons geval geldt dat:    voorraadkosten  = getal ื n      en      bestelkosten  = getal/n
Dus voorraadkosten ื bestelkosten = constant.
Die zijn dus samen minimaal als  voorraadkosten = bestelkosten.  Dat zegt de conclusie hierboven.
     

Bij de optimale bestelgrootte geldt:  voorraadkosten = bestelkosten
     

ฉ h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)