Voorwaardelijke kansen (1).

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Oorspronkelijk was onze afspraak over de kans ergens op:

Daarbij moesten we goed uitkijken of al die mogelijkheden wel even zwaar meetelden. In deze les zullen we zien dat er nog een paar complicaties kunnen zijn. Dat we af en toe goed moeten uitkijken wat nou precies de gunstige en de mogelijke aantallen zijn.

Voorbeeldje maar weer......
Toen ik vroeger studeerde had ik een effectieve en toch erg eenvoudige manier van studieplanning.
Als de wekker 's morgens ging, dan gooide ik met een dobbelsteen. 
Bij 1 t.m.5 bleef ik lekker slapen die dag, bij 6 ging ik studeren.

Na een poosje ontdekte ik dat dat toch niet de optimale manier was. Vooral in de tentamenperiode (dat was 4 van de 12 maanden) bleek dat ik te weinig studeerde. 

Daarom paste ik mijn tactiek aan: in de tentamenperiode gooide ik niet met een dobbelsteen maar met een muntstuk. Bij KOP ging ik studeren, bij MUNT sliep ik lekker verder.
Voor het gemak gaan we uit van een jaar van 360 dagen met 12 maanden van elk 30 dagen.

Opwarmvraagje: Hoe groot is de kans dat ik op een willekeurige dag in het jaar studeerde?

Ik gooi 120 dagen een munt, dus 60 studeren, ik gooi 240 dagen een dobbelsteen dus 40 dagen studeren.
Totaal is dat 100 dagen studeren. 100 gunstige mogelijkheden van de 360 geeft kans  100/360 = 5/18.

De echte vraag: Jij komt bij mij op bezoek en ziet dat ik zit te studeren. Hoe groot is nu de kans dat het tentamenperiode is?

Dit is lastiger......
De kans op tentamenperiode wordt gevraagd als gegeven is dat ik zit te studeren. Dat ligt vast.
We vragen de kans op gebeurtenis A (tentamenperiode) als gegeven is dat gebeurtenis B zeker plaatsvindt.
Laten we een tabel maken voor bijvoorbeeld 360 dagen.
Dan zal het 120 dagen tentamenperiode zijn en 240 dagen niet. Van die 120 dagen zal ik 60 dagen studeren en 60 niet.
Van die 240 dagen zal ik 40 dagen studeren en 200 niet.
Dat geeft de tabel hiernaast.
  studeren niet-studeren  
tentamenperiode 60 60 120
niet-tentamenperiode 40 200 240
  100 260 360
Maar als gegeven is dat ik zit te studeren, dan is alleen de eerste kolom van die tabel nog maar mogelijk. De rest kun je wegdenken. Zie de tabel hiernaast.
Je ziet dat van de totaal 100 mogelijkheden er nu 60 gunstig zijn, dus de kans is  60/100 = 0,6
  studeren niet-studeren  
tentamenperiode 60 60 120
niet-tentamenperiode 40 200 240
  100 260 360
De kans op gebeurtenis A als gegeven is dat gebeurtenis B moet plaatsvinden noteren we als P(A\B) (spreek uit:  "kans op A gegeven B").  Zo'n kans noemen wiskundigen een voorwaardelijke kans omdat de kans op gebeurtenis A (tentamenperiode) wordt gevraagd onder de voorwaarde dat gebeurtenis B(studeren) plaatsvindt.
Als je door hebt dat het in een vraagstuk om een voorwaardelijke kans gaat, kun je het handigst zo'n tabel als hierboven maken (een kruistabel). Kies een willekeurig totaal aantal gevallen (hier is 360 genomen) en ga de tabel invullen.

Voorwaardelijke kans?  Maak een kruistabel!
   
  OPGAVEN
1. In de volgende tabel staan de onvoldoendes voor scheikunde op het rapport van 160 leerlingen van de klassen 4, 5 en 6 op een scholengemeenschap.
  klas 4 klas 5 klas 6 totaal
voldoende 45 42 38 125
onvoldoende 5 12 18 35
totaal 50 54 56 160
Bereken de kans dat:
     
a. een willekeurige leerling een onvoldoende heeft.
   

0,21875
b. een leerling die een voldoende heeft,  in de vijfde klas zit.
   

0,336
c. een leerling die in klas 6 zit een onvoldoende heeft.
   

0,3214
d. een willekeurige leerling niet in klas 5 zit en ook geen onvoldoende heeft.
     

0,51875
2. Op een boerderij lopen drie soorten kippen rond: witte kippen, bruine kippen en gespikkelde kippen. Heel toevallig leggen de witte kippen witte eieren, de bruine kippen bruine eieren en de gespikkelde kippen....jawel: gespikkelde eieren.
Van alle eieren op een dag nemen de witte kippen 40% voor hun rekening, de bruine kippen 25% en de gespikkelde kippen 35%.
Helaas voor de boer zijn niet alle eieren geschikt voor de verkoop. Sommige eieren zijn te klein. Van de witte eieren blijkt 5% ongeschikt, voor de bruine eieren en de gespikkelde eieren is dat respectievelijk 4% en 3%.
     
a. Hoe groot is de kans dat van twee willekeurige eieren uit de dagproductie er precies eentje ongeschikt is voor de verkoop?
   

0,0777
b. Hoe groot is de kans dat een ei dat ongeschikt is een gespikkeld ei is?
   

0,2593
c. De boerin heeft een mandje met 4 gespikkelde, 8 witte en 6 bruine eieren. Ze kiest er aselect 6 eieren uit. Hoe groot is de kans dat dat 3 witte, 2 gespikkelde en 1 bruine zijn?
     

0,1086
3. Ik heb vijf kinderen die allemaal St. Maarten hebben gelopen. Na afloop staan er vijf trommeltjes met snoep op onze tafel. De inhoud ervan is als volgt:
Elke kleur/vorm stelt een verschillend soort snoepje voor. De zwarte rondjes zijn dropjes.
Ik heb trek in een dropje en kies willekeurig een trommeltje uit en pak daaruit willekeurig een snoepje.
Het blijkt inderdaad een dropje te zijn.
Hoe groot is de kans dat ik trommeltje A heb gepakt?
     

0,5
4.

Eeneiige tweelingen komen uit dezelfde eicel en moeten daarom wel het zelfde geslacht hebben. Twee-eiige tweelingen komen uit verschillende eicellen en kunnen daarom best verschillend van geslacht zijn.
Stel dat van alle tweelingen er 75% twee-eiig is, en dat van alle twee-eiige tweelingen de helft hetzelfde geslacht heeft.
     
  a. Bereken dan de kans dat een paar tweelingen het zelfde geslacht heeft.
     

0,625
  b. Bereken de kans dat een paar tweelingen met hetzelfde geslacht ééneiig is.  
     

0,4
5. Een onderzeeboot-detectiesysteem bestaat uit drie eenheden. Er is een sonarapparaat dat 60% van de boten detecteert. Verder  is er een magnetische detector die 30% van de boten detecteert, en tenslotte is er nog een onderwatercamera die 40% van de boten detecteert. 
Deze drie eenheden werken onafhankelijk van elkaar en hun detectiekansen zijn ook onafhankelijk van elkaar.
     
a. Hoe groot is de kans dat een willekeurige zeeboot wordt gedetecteerd?
   

0,832
b. Het blijkt dat een bepaalde boot door de magnetische sector werd gedetecteerd. Hoe groot is dan de kans dat hij ook door de onderwatercamera werd gedetecteerd?
   

0,4
c. Een bepaalde onderzeeboot is door precies één van de drie eenheden gedetecteerd. Hoe groot is de kans dat dat door het sonarapparaat was?
     

0,578
6. In een stadje opereren twee concurrerende taxibedrijven: taxi groen, dat 85 groene taxi's heeft en taxi blauw, met 15 blauwe taxi's. Op een dag veroorzaakt een taxi in de avondschemering een ongeluk, en rijdt daarna weg zonder zich te identificeren. Een getuige verklaart, dat deze taxi blauw is. De politie controleert of de getuige onder de omstandigheden van het ongeluk wel groene van blauwe taxi's kan onderscheiden. Het blijkt, dat de getuige acht van de tien keer de juiste kleur herkent. Het slachtoffer van het ongeluk wil nu een schadeclaim indienen bij taxi blauw, omdat de betrouwbaarheid van de getuige 80% is.

Bereken hoe groot de kans is dat de taxi inderdaad van Taxi blauw was.
     

0,4138
7.

Keesje mag met Pasen eieren gaan zoeken in de tuin. 
Zijn ouders hebben een heleboel gewone eieren verstopt, en ook één supergroot chocolade-ei.
Keesje wil graag dat ei vinden.
Hij moet eerst kiezen of hij in de achtertuin gaat zoeken of in de voortuin, beiden mag niet.
Hij weet dat de kans dat het chocolade-ei in de achtertuin ligt 70% is, en in de voortuin dus 30%.
Helaas is de achtertuin veel groter dan de voortuin. De kans dat hij het ei vindt (als het er ligt) in de achtertuin is 50% en in de voortuin is die kans 80%.
Keesje weet niet wat de verstandigste keuze is, en zal een muntstuk op gaan gooien om te beslissen waar hij gaat zoeken.

Keesje vertelt mij later trots dat hij het ei heeft gevonden!
Hoe groot is de kans dat hij in de achtertuin heeft gezocht?
     

0,5932
8.

Iemand heeft een zak met een zwart óf een wit papiertje erin. De kans op beiden is 50%. Hij stopt er een wit papiertje bij in. Vervolgens haalt hij er een papiertje uit dat ook weer wit blijkt te zijn. 
Hoe groot is nu de kans dat het overgebleven papiertje in de zak ook wit is?
     

2/3
9. Autohandelaren spreken 40% van de tijd de waarheid.
Van alle bomen in een bos is 30% een eik.
Stel dat 4 autohandelaren allemaal zeggen dat een bepaalde boom in dat bos een eik is, hoe groot is dan de kans dat dat inderdaad zo is?
     

0,078
10. Het Drie-Deuren Probleem.
Dit is een erg beroemd probleem, het heet ook wel het "Monty-Hall problem"  naar de spelleider in de Amerikaanse show  "Let's Make a Deal". De winnaar van die show mocht kiezen uit drie gesloten deuren. Achter één van die deuren zat een mooie prijs (een auto of zo), de beide andere deuren bevatten een fopprijs (bijvoorbeeld 100 pingpongballen). De winnaar koos eerst één van de drie deuren uit. Daarna opende de spelleider (die wist waar de echte prijs zat), één van beide andere deuren en liet zien dat daar een fopprijs achter zat.
De vraag aan de winnaar was nu: "Wil je nog wisselen van deur?"
Wat is verstandig?

Er zijn twee redeneringen die allebei goed klinken;
redenering 1:  "De kans op een prijs was eerst 1/3. Het feit dat er een ander deurtje is opengemaakt verandert daar niets aan, dus de kans is nog steeds 1/3, dus 2/3 op dat andere deurtje. Ik moet dus wisselen"
redenering 2:  "De prijs zit achter mijn deurtje of dat andere deurtje, dus de kans is 50%, dus het maakt niets uit"

Welke redenering zou jij volgen?
Zie je dat het om een voorwaardelijke kans gaat?
Stel dat je deur A hebt gekozen.....
Vul dan de kruistabel hiernaast in, en beantwoord de vraag "Wil je nog wisselen van deur?"
  spelleider opent B spelleider opent C totaal
prijs achter A      
prijs achter B      
prijs achter C      
totaal    

3000
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)