|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Even bekijken wat we nou
eigenlijk gedaan hebben.... We bekeken tweede orde
differentiaalvergelijkingen van de vorm: y'' + py'
+ qy + r = 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Het is de vraag of die laatste
stap (dat vinden van A en B) wel altijd lukt! Stel dat de beginvoorwaarden zijn y(0) = y0 en y'(0) = y'0 . Dan komt het vinden van A en B neer op het oplossen van dit stelsel van twee vergelijkingen: Ay1(0) + By2(0) + p(0) = y0 Ay1' (0) + By2' (0) + p'(0) = y'0 Bedenk goed dat daarin de enige onbekenden die A en B zijn. We gaan dit oplossen door de eerste vergelijking als A = .... te schrijven en dat dan in te vullen in de tweede. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ⇒
y0y1'(0) -
By2(0)y1'(0) -
p(0)y1'(0)
+ By2'(0)y1(0) + p'(0)y1(0)
= y0'y1(0) ⇒ B · {y2'(0)y1(0) - y2(0)y1'(0)} = y0'y1(0) - y0y1'(0) + p(0)y1'(0) - p'(0)y1(0). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Dat geeft een oplossing voor B,
behalve.... als die noemer nul is! En ook andersom: als je van de ene vergelijking B = .... maakt en dat invult in de andere vergelijking, dan krijg je een uitdrukking voor A met precies diezelfde noemer!! Die noemer is nogal belangrijk dus! Hij heet de "Wronskiaan" (ook wel de "Wronski-determinant"). Als je wél waarden voor A en B kunt vinden, dan heet het stelsel y1, y2 een volledig stelsel oplossingen van de differentiaalvergelijking. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| En natuurlijk geldt dit niet alleen voor x = 0: je kunt immers elke y(x) en y'(x) als "begin"waarden nemen. Dus in het algemeen moet gelden: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
