Nieuwe pagina 1

Examenopgaven

HAVO B2

2004 - II opg. 9

OPGAVEN

Gegeven is kubus ABCD.EFGH met ribben 6. M is het midden van BF en N is het midden van CG.
Bereken de afstand van lijn MN tot vlak EBCH

Gegeven is piramide T.ABCD met vierkant grondvlak, en alle ribben 6.
M is het midden van het grondvlak.
Bereken de afstand van M tot vlak TAB.

Gegeven is kubus ACBD.EFGH met ribben 6.
Bereken de afstand van de vlakken EGB en ACH.

OPLOSSING

Lijn MN is evenwijdig aan BC dus aan het hele vlak EBCH, dus de afstand bestaat.
Kies een punt van MN, laten we M nemen.
Teken de loodlijn van M op EBCH.
Dat is de lijn van M loodrecht op EB in het voorvlak ABFE.
De lengte daarvan is ¹/₄ van de diagonaal AF, dus ¹/₄•Ö72 » 2,12

Bekijk vlak TPQ met P het midden van AB en Q het midden van CD.
Dat vlak staat loodrecht op AB
Als je in dat vlak een lijn loodrecht op TP tekent, dan staat die lijn loodrecht op vlak TAB (want loodrecht op AB en op TP)
TP² + 3² = 6² Þ TP = Ö27
TM² + 3² = 27 Þ TM = Ö18
Voor driehoek TMP geldt:
de oppervlakte is ¹/₂ • MP • TM = ¹/₂ • 3 • Ö18
de oppervlakte is ¹/₂ • TP • x = ¹/₂ • Ö27 • x

Dus ¹/₂ • 3 • Ö18 = ¹/₂ • Ö27 • x
Þ x = ^3Ö18 /_Ö27 » 2,45

Teken vlak DBFH plat. Noem het midden van DB punt P en het midden van HF punt Q.
De gevraagde afstand is dan de afstand tussen HP en QD.
Lijn FD wordt door deze twee lijnstukken in drie gelijke delen verdeeld.
De afstand is daarom ¹/₃ • FD = ¹/₃ • Ö(6² + 6² + 6² ) » 3,46


De afstand van een punt tot een vlak

1.	Teken een lijn door P die loodrecht op V staat. (dat is zo als hij loodrecht staat op twee snijdende lijnen uit V)
2.	P' is de loodrechte projectie van P op V
3.	De gevraagde afstand is PP'

De afstand van een lijn tot een vlak

Die afstand bestaat alleen als de lijn evenwijdig aan het vlak loopt. Kies een willekeurig punt P van de lijn en bereken de afstand van dat punt tot het vlak als hierboven.

De afstand tussen twee vlakken

Die afstand bestaat alleen als de vlakken evenwijdig zijn. Kies een willekeurig punt P van het ene vlak en bereken de afstand tot het andere als hierboven.