Nieuwe pagina 1

Examenopgaven

VWO WA1

2002 - II opg. 5

2004 - II opg. 5

OPGAVEN

Een sultan heeft een harem van 14 vrouwen. Hij wil elke nacht doorbrengen met een groepje van 4.
Als hij elke nacht een ander groepje wil, hoeveel nachten kan hij dat dan volhouden?

Hoeveel wedstrijdverkopen kunnen leiden naar een eindstand 5-3?

Hoeveel verschillende woorden kun je maken met de letters van APPELTAART?
(het hoeven uiteraard geen bestaande woorden te zijn)

OPLOSSING

14 nCr 4 = 1001 (tuurlijk! dat wist je al!)

8 nCr 3 = 56

10 letters te plaatsen
Voor de drie A's 10 nCr 3 = 120 mogelijkheden
Daarna voor de twee P's 7 nCr 2 = 21 mogelijkheden
Daarna voor de twee T's 5 nCr 2 = 10 mogelijkheden.
Tot slot voor ERL 3 • 2 • 1 = 6 mogelijkheden.
Samen geeft dat 120 • 21 • 10 • 6 = 151200 mogelijkheden.

COMBINATIES nCr

Kies k elementen uit een verzameling van n:

1. Met terugleggen
2. De volgorde is niet van belang

Dan kan dat op (n nCr k) verschillende manieren.
(te vinden op de TI-83 bij MATH - PRB -)

Een combinatie is dus een groepje (volgorde niet van belang) en een permutatie een rijtje (volorde wel van belang)

Meest voorkomende toepassing

Je hebt een rijtje letters, bijv. JJMMJJM en je vraagt je af op hoeveel verschillende manieren je 4 J's en 3 M's in een rijtje kunt zetten.
Dat komt erg vaak voor; als je takken in een kansboom wilt tellen.

(J = jongen en M = meisje zou een gezin van 7 kunnen beschrijven, of J = kop en M = munt het 7 keer met een muntstuk gooien, of J = 6 en M = niet-6 het 7 keer met een dobbelsteen gooien, of...)

Dan kan dat op 7 nCr 3 manieren (of 7 nCr 4, dat is hetzelfde).

Waarom is dat zo?
Bekijk 7 lege stippen: • • • • • • •
Kies er 3 uit om een M op neer te zetten, bijv • M • • M M •
(de rest wordt dan J's)
Je hebt 3 stippen (elementen) uit een verzameling van 7 gekozen, zonder terugleggen, en de volgorde is niet van belang. Dus kan dat op 7 nCr 3 manieren.
(Het zal duidelijk zijn dat 7 nCr 4 gelijk is aan 7 nCr 3; namelijk als je eerst de plaatsen voor de J's zou kiezen)

formule

Je hebt er niets aan, maar hier is de formule voor nCr