We gaan in deze opgave uit van een eenvoudige vorm van roulette. Als het rouletteballetje op ‘rood’ komt, krijgt Mark 2 euro terug en heeft hij dus 1 euro winst. Als het balletje niet op ‘rood’ komt, is Mark zijn inzet kwijt en heeft hij dus 1 euro verlies.
Mark stopt na een vooraf afgesproken maximaal aantal ronden, of eerder wanneer zijn geld op is.

Na afloop van de simulatie kun je door op Reset te klikken ervoor zorgen dat dezelfde uitgangspositie ontstaat als bij het openen van het bestand.

Laat bij het bestand ROULETTE.XLS het maximaal aantal ronden op 3 ingesteld staan.
Speel een aantal simulaties.

Wanneer je erop let of in een simulatie twee of drie keer achter elkaar dezelfde kleur optreedt, dan zul je merken dat er ongeveer twee keer zoveel simulaties zijn met twee of drie keer achtereen rood als met twee keer achtereen zwart.

Stel bij het bestand ROULETTE.XLS het maximaal aantal ronden in op 5. Speel enkele malen het roulettespel

Het kan vóórkomen dat een simulatie al na minder dan vijf ronden eindigt, met een saldo van 0 euro. Het kan ook dat een simulatie vijf ronden duurt. Dan kan het saldo op zijn hoogst 6 euro zijn. Je merkt waarschijnlijk dat het niet vaak gebeurt dat een simulatie met een saldo van 6 euro eindigt.

Als Mark bij een ronde wint, duiden we dat aan met een W. Als Mark bij een ronde verliest, duiden we dat aan met een V. Bijvoorbeeld de serie WWWWV betekent dat Mark bij de eerste vier ronden wint en bij de vijfde ronde verliest. Dan eindigt hij met een saldo van 4 euro, dus heeft hij 3 euro winst gemaakt. Bij de series WWWVW, WWVWW en WVWWW maakt Mark ook 3 euro winst.

Er is ook een aantal series van vijf ronden waarbij Mark eindigt met 1 euro winst. Dit aantal kun je gebruiken om de kans te berekenen dat Mark, wanneer hij maximaal vijf ronden speelt, eindigt met 1 euro winst.

We gaan Mark nu eens 100 avonden volgen. Elke avond start hij met 1 euro. Mark speelt op een avond maximaal 50 ronden. Het aantal euro’s dat Mark dan heeft, neemt hij mee naar huis. In het bestand RISKRUIN.XLS blad 1 is voor 100 avonden gesimuleerd hoe de financiële situatie van Mark kan verlopen.

In onderstaande figuur zie je een gedeelte afgebeeld van de kolommen C tot en met P, zoals die er na een simulatie uit kunnen zien.

In deze figuur lees je in cel E31 af dat Mark 100 avonden speelt. In kolom F zie je dat Mark op 44 avonden na 1 ronde 2 euro heeft (zie cel F30) en op 56 avonden na 1 ronde geen geld meer heeft (zie cel F32).
In kolom J zie je wat de resultaten na 5 ronden zijn. Van de honderd avonden zijn er 76 avonden waarop Mark na 5 ronden geen geld meer heeft (zie cel J32); er zijn 15 avonden waarop Mark na 5 ronden 2 euro heeft (zie cel J30); op 6 avonden heeft hij na 5 ronden 4 euro (zie cel J28) en op 3 avonden heeft hij na 5 ronden 6 euro (zie cel J26).

Bereken op hoeveel van de 15 avonden waarop Mark na 5 ronden 2 euro heeft, hij een ronde daarvoor nog 3 euro had.

Simuleer in het Excelbestand enkele malen de 100 speelavonden. Je ziet dan telkens dat in de onderste rij gele cellen F32 tot en met BC32 steeds twee dezelfde getallen naast elkaar staan. Zo zie je in de figuur in de cellen F32 en G32 hetzelfde getal 56 staan, in de cellen H32 en I32 het getal 69, enz.

Leg uit dat Mark nooit bij een even rondenummer (dus rondenummer twee, vier, enzovoort)zijn laatste euro kan verliezen.

De kans dat Mark na precies 5 ronden geen geld meer heeft, noemen we P(5).
Omdat alleen de 2 series WWVVV en WVWVV tot gevolg hebben dat Mark na precies 5 ronden geen geld meer heeft, geldt:  P(5) = 2 · (¹⁸/₃₇)² · (¹⁹/₃₇)³  ≈ 0,0641

Op soortgelijke wijze is de kans te berekenen dat Mark na precies 7 ronden geen geld meer heeft. Deze kans noemen we P(7). In plaats van de kans P(7) te berekenen, kun je ook een schatting maken van P(7) op basis van simulaties met de computer.

Maak aan de hand van de resultaten van de simulaties een schatting van de kans P(7). Lichtje werkwijze toe.

Het resultaat van deze simulatie met de computer van 1 miljoen speelavonden is als volgt.
Slechts op 89 317 avonden houdt Mark nog geld over na 50 ronden. Op de overige 910 683 avonden verliest Mark al zijn geld. Van deze 910 683 avonden heeft de computer bijgehouden op hoeveel avonden Mark na precies 1 ronde geen geld meer heeft, op hoeveel avonden na precies 3 ronden, na precies 5 ronden, etcetera. Het resultaat staat in het= Excelbestand RISKRUIN.XLS blad 2.

In de eerste kolom zie je hoeveel ronden het duurt tot Mark geen geld meer heeft. In de tweede kolom staat op hoeveel avonden dat gebeurt. Zo kun je aflezen dat volgens de simulatie op 514 494 avonden Mark na precies 1 ronde geen geld meer heeft. Je kunt bijvoorbeeld ook aflezen dat volgens de simulatie Mark op 6534 avonden na precies 25 ronden geen geld meer heeft.

Bereken in Excel blad 2 hoeveel ronden Mark volgens deze 1 miljoen simulaties gemiddeld per avond speelt. Leg uit hoe je in Excel te werk bent gegaan.

Mark besluit om in het vervolg 50 euro mee te nemen naar het casino. Hij stopt elke avond na 50 ronden bij de roulette. Bij een inzet van 1 euro per ronde heeft hij dan altijd genoeg geld om precies 50 ronden te spelen. Voor deze situatie kun je de theoretische winstverwachting berekenen die Mark per avond heeft.

Laat met een berekening zien dat de theoretische winstverwachting van Mark per avond nu veel slechter is dan toen Mark maar 1 euro meenam en geef daarvoor een verklaring.