Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een sinusoïde opstellen.

Het is natuurlijk ook mogelijk om zelf uit een tekst of uit een grafiek de formule van een sinusoïde op te stellen.
Deze les zullen we een handige manier bekijken om dat te doen.

Laten we beginnen met de coördinaten van een maximum en van een minimum van de grafiek.
Als voorbeeld heb ik hiernaast maximum (3.2, 5.4) en minimum (9.1, 1.5) genomen.

Dan kun je in vier eenvoudige stappen een vergelijking van de sinusoïde die dit maximum en dit minimum heeft opstellen.

We beginnen met de algemene vorm uit de vorige les:

y = a + b sin(c(x - d))

Stap 1. De Evenwichtlijn

De evenwichtlijn bevindt zich midden tussen het maximum en het minimum. De y-waarde van de evenwichtslijn is dus in dit geval het gemiddelde van 5,4 en 1,5 en dat is ^{(5,4 + 1,5)}/₂ = 3,45

Dus a = 3,45

y = 3,45 + b× sin(c(x - d))

Stap 2: De amplitude

De amplitude is de afstand van de top tot de evenwichtslijn.
Dat is in dit geval 5,4 - 3,45 = 1,95

Dus b = 1,95

y = 3,45 + 1,95 × sin(c(x - d))

Stap 3: de periode

De periode is de horizontale breedte van één golfje. Tussen maximum en minimum zit hier in afstand van 9,1 - 3,2 = 5,9
Maar dat is nog maar de halve periode
De periode is dan 11,8
(we gaan er van uit dat het gegeven maximum en minimum binnen één periode zitten)

Dan is c = ^2p/_11,8 ≈ 0,532

y = 3,45 + 1,95 × sin(0,532(x - d))

Stap 4: Het beginpunt.

Bij een sinusgrafiek ligt het beginpunt een kwart van de periode links van de top.
Dat is dus hier bij 3,2 - (^11,8/₄) = 0,25
(bij een cosinusformule ligt het beginpunt gewoon bij de top zelf)

Dan is d = 0,25

y = 3,45 + 1,95 × sin(0,532(x - 0,25))

Zie je wel!!!! Past Precies!!!!!

OPGAVEN.

Hieronder staan 4 sinusoïden.
Geef bij elke grafiek een mogelijke formule met sinus, en ook eentje met cosinus.

Een sinusgrafiek heeft een maximum bij (4,8) en een minimum bij (9,-2)
Bereken het snijpunt met de y-as.

Geef twee verschillende mogelijkheden.

Gegeven zijn de volgende formules: y₁ = 2 - 4·sinx en y₂ = 3·cosx - 5 en y₃ = y₁ + y₂Geef een formule voor y₃ van de vorm y₃ = a + b·sin c(x - d)

De functies f en g worden gegeven door:

f(x) = 2 + 4sin(0,5x)g(x)= 2 + 4cos(0,5x)
Het punt P is de eerste top van de grafiek van f rechts van de y-as en het punt R is de eerste top van de grafiek van g rechts van de y-as. Zie de figuur hiernaast, waarin ook het lijnstuk PR getekend is

Bereken algebraïsch de lengte van lijnstuk PR. Geef je eindantwoord in twee decimalen

De grafiek van de somfunctie h(x) = f(x) + g(x) blijkt ook een sinusoïde te zijn. Zie de figuur hiernaast.

Het functievoorschrift van h is te schrijven als:
h(x) = p + q • cos(r(x - s))

Bereken mogelijke waarden van p, q, r en s. Geef je eindantwoorden, indien nodig, in twee decimalen.

Bij de molen hiernaast zijn de uiteinden van de wieken aangegeven met P, Q, R en S.

Op t = 0 is de situatie zoals hiernaast getekend.

Punt Q bevindt zich 32 meter boven de grond, en punt S 4 meter boven de grond.

De molen draait rond met 6 omwentelingen per minuut.

Geef een functievoorschrift voor de hoogte h (in meter) boven de grond van punt S, als functie van de tijd t in seconden

Na hoeveel seconden bevindt S zich voor het eerst op 10 meter boven de grond?

Het gaat harder waaien en daardoor gaat de molen sneller ronddraaien.
Op een gegeven moment maakt de molen 12 omwentelingen per minuut.

Geef een nieuw functievoorschrift voor h(t). Neem weer h(0) = 4.