Nieuwe pagina 1

Examenopgaven

VWO WA12

2001 - II opg. 16,17,18

2002 - II opg. 3

2004 - II opg. 16

2006 - I opg. 15

2007 - II opg. 19

OPGAVEN

Optimaliseer D = a - b + 10 onder de restricties: 2b + 3a £ 24 en b + 8 ³ 2a en 3b £ 18 + a

OPLOSSING

Het toelaatbare gebied staat hiernaast en heeft de hoekpunten P, Q en R

P is het snijpunt van b + 8 = 2a met 2b + 3a = 24
Uit de eerste volgt b = 2a - 8
Invullen in de tweede: 2(2a - 8) + 3a = 24 ofwel a = 5⁵/₇
Dus b = 3³/₇.

Q is het snijpunt van b + 8 = 2a met 3b = 18 + a
Uit de eerste volgt b = 2a - 8
Invullen in de tweede: 3(2a- 8) = 18 + a ofwel a = 8²/₅Dus b = 8⁴/₅.

R is het snijpunt van 3b = 18 + a met 2b + 3a = 24
Uit de eerste volgt a = 3b - 18
Invullen in de tweede geeft 2b + 3(3b - 18) = 24 ofwel b = 7¹/₁₁
Dus a = 3³/₁₁

Bereken nu D in alle drie de hoekpunten.
In punt P is D = 12²/₇, en in punt Q is D = 9³/₅ en in punt R is D = 6²/₁₁Dus D is maximaal 12²/₇ in punt P.

Niveaulijnen.

Neem het volgende stelsel:

2y + x £ 16
4x - 5y £ 0
y £ 6
x ³ 0

Daarvan hebben we het volgende toelaatbare gebied getekend (hoe dat moet staat hier):

Nu zoeken we binnen dit toelaatbare gebied het maximum van de doelstellingsfunctie W = 4y + 8x

Bij elk punt van dit gebied hoort dan een W.
Bijvoorbeeld bij (1,3) hoort W = 4 • 3 + 8 • 1 = 20.
Maar de lijn W = 20 geeft 4y + 8x = 20, en die kunnen we tekenen:

Laten we er nog een paar tekenen; hieronder staan ook nog W = 10, 30, 40, 50:

We zien dat in de richting van de blauwe pijl de W steeds groter wordt.
Daarom zal de lijn met de grootste W in dit gebied door punt P gaan.
P is het snijpunt van 2y + x = 16 en 4x - 5y = 0
Dat is het punt (6.15, 4.92)
De maximale W is daarom 4 • 4,92 + 8 • 6,15 = 68,88