Oké, ik geef het toe: het had
niet zo onsmakelijk gehoeven.
Ik had net zo goed een raadsel over een pot met gesmolten goud
waarin 50 stukjes verontreiniging waren gevallen kunnen
vertellen. Of nog sterieler de volgende formulering:
Verdeel 50 ballen aselect over 100 bakjes, hoeveel bakjes zullen
dan gemiddeld leeg blijven?
Laten we het algemenere probleem van m ballen in n
bakjes oplossen:
Noem X het aantal bakjes dat leeg blijft.
Definieer dan Yi : een rij enen en nullen al
naar gelang bakje i vol (= 0) of leeg (= 1) blijft.
|
X = Y1 + Y2 + Y3 + ... + Yn
E(X) = E(Y1) + E(Y2) + ... + E(Yn)
Dat mag; ook al zijn de Yi afhankelijk, dan
nog mag je de verwachtingswaarden optellen.
E(Yi) = 0 • P(Yi = 0) + 1
• P(Yi = 1) = P(Yi = 1)
Bekijk bakje i.
De kans dat één bepaalde bal er niet in komt is 1 - 1/n
Dus de kans dat m ballen er allemaal niet inkomen
is (1 - 1/n)m
Dus E(Yi) = (1 - 1/n)m
Dan is E(X) = n • (1 - 1/n)m
Voor n = 100 en m = 50 geeft dat
E = 60,5 |
|
|
In praktijk kom je dit probleem
natuurlijk elke dag tegen als je in de lift staat;
|
| Hoe vaak zal de lift stoppen als er m
personen in staan en er zijn n verdiepingen? |
|
(niet helemaal want elke verdieping heeft een eindig
aantal kamers, dus de kans dat een persoon op een bepaalde
verdieping moet zijn is niet helemaal afhankelijk van het feit
of een ander daar moet zijn. Bij benadering (grote verdiepingen)
zal het wel kloppen) |
|
|
| 3. Het eierverfprobleem |
|
|
|
We hebben 7 eieren en 4 kleuren
verf (rood, groen, blauw en geel).
Elk ei moet geheel in één kleur geverfd worden, en de
eieren zijn niet van elkaar te onderscheiden.
Op hoeveel verschillende manieren kunnen de eieren geverfd
worden?
|
 |
|
|
|
4.
Het wisselgeldprobleem |
|
|
Een variant op het vorige
probleem.
Op hoeveel manieren kun je een bedrag van n eurocent
samenstellen uit 1-euro munten en 2-euromunten en 5-euromunten? |
|
|
|
|
|
|