Dat kan in DRIE wegingen
Dit is een oud probleem waarvan de oplossing al in 1955 werd besproken door C.L. Stong in de Scientific American. De oplossing heeft vreemd genoeg te maken met het drietallige stelsel. Alhoewel:  vreemd? Een balans heeft natuurlijk 3 standen: naar links, naar rechts en in evenwicht.
In de tabel hieronder staat naast elk nummer munt het drietallige nummer. De derde kolom geeft een tweede drietallig nummer dat verkregen is door van het eerste drietallige nummer elke 0 in 2 te veranderen en elke 2 in 0.

nummer drietallig veranderd
1 001 221
2 002 220
3 010 212
4 011 211
5 012 210
6 020 202
7 021 201
8 022 200
9 100 122
10 101 121
11 102 120
12 110 112


Kies vervolgens van beide drietallige getallen degeen waarin de eerste twee ongelijke cijfers gelijk zijn aan 01, 12 of 20. Die zijn in de tabel in het rood weergegeven.

Als eerste weging gaan de munten met het eerste cijfer 2 rechts en die met het eerste cijfer 0 links:
Als er evenwicht is noteren we 1 als eerste cijfer  van de valse munt. Als de linkerschaal omlaag gaat noteren we 0, als de rechter omlaag gaat noteren we 2.
Voor de tweede weging doen we hetzelfde met het tweede cijfer van de munten., dus:
Weer noteren we als tweede cijfer een 1, 0 of 2 al naar gelang de schaal in evenwicht is, naar links doorslaat of naar rechts doorslaat.
Tenslotte doen we hetzelfde nóg een keer, nu met het derde cijfer van de munten:
Zo krijgen we uiteindelijk het nummer van de valse munt.
Aan de wegingen kunnen we dan ook makkelijk zien of de munt te licht of te zwaar was.  Het blijkt dat de munt te zwaar is als het gevonden getal ook het gebruikte getal van de munt was. Als de munt te licht was, dan vinden we het andere getal dat bij de munt hoort.

In het algemeen kunnen we met n wegingen  1/2 • (3n - 3) munten  de baas. Dus dat is  12, 39, 120,...
13 munten in drie wegingen kan ook als je niet hoeft uit te vinden of de munt zwaarder of lichter is (leg de 13de munt gewoon apart, en als de valse munt niet bij de gewogen 12 zit, dan is het automatisch de 13de).
Een aardige toepassing hiervan is de goocheltruc "Kaart Raden" elders op deze website.

Er is nog een verrassende tweede toepassing, en dat is alfabetiseren.
2. Een voorwerp wegen op een balans met bekende gewichten
Een aardig probleem dat erg veel met het vorige en met het drietallige stelsel te maken heeft  is:
"Wat is het kleinst aantal gewichten dat nodig is om een voorwerp met een geheel gewicht kleiner of gelijk aan 40 kg te wegen?"

Het zal je niet verbazen: er zijn er 4 nodig en 40 is precies de eerste vier machten van 3 opgeteld:  
40 = 1 + 3 + 9 + 27.
Als je wilt kijken of een voorwerp x weegt, dan schrijf je x eerst in het drietallige stelsel.
Verander vervolgens elke 2 in -1 en verhoog daarna het cijfer direct links ervan met 1. Als dat een 2 oplevert herhaal je de procedure met die 2. Als het een 3 oplevert vervang je die door een 2 en verhoog je het cijfer links ervan weer met 1.

voorbeeld?
25 = 221 (drietallig)
2 2 1 ® 1 -1 2 1 ®  1  0  -1  1
Daaruit lees je af dat  25 = 27 + 0 - 3 + 1 dus de gewichten  moeten zó geplaatst:
Met de gewichten 1,3 en 9 kun je zo alle gewichten van 1 tot en met 13 wegen.
Maar als de balans niet in evenwicht hoeft te zijn, dan kan het nog efficiënter!
Met 2, 6 en 18 kun je namelijk zo alle gewichten van 1 tot en met 27 bepalen. Dezen zijn niet toevallig precies de driemachten verdubbeld.....
Je kunt alle even gewichten zo exact bepalen. En de oneven? Die bepaal je door te kijken tussen welke even gewichten ze in moeten liggen. Een gewicht van 17 wordt bijvoorbeeld geïdentificeerd doordat het minder dan 18 weegt en meer dan 16.
Met vier gewichten (2, 6, 18 en 54) kun je zo alles van 1 tot en met 81 bepalen.
3. Geen balans maar een weegschaal.
Ali Baba staat in zijn grot voor 20 zakken met gouden munten. Een gouden munt weegt precies 5,00 gram. Helaas is er één zak met valse munten. Die wegen 4,99 gram. Dat is een te klein verschil om te kunnen voelen. Gelukkig heeft hij een precieze weegschaal tot zijn beschikking.
Hoe kan hij met één keer wegen bepalen welke zak de valse munten bevat?
4. Twéé valse munten.
Je hebt nu vijf munten waarvan er eentje te zwaar is en eentje te licht en de andere drie precies goed.
Kun je bepalen welke welke is met een balans (zonder extra gewichten) en in drie keer wegen?		  
En een speciaal geval daarvan is als nog gegeven is dat de zware en de lichte samen evenveel wegen als twee zuivere munten. Dan kun je zelfs van tevoren al aangeven welke munten je tegen elkaar gaat wegen.
5. Het 13-munten probleem.
Een arme boer moet 13 goudstukken belasting betalen aan de schatbewaarder van de koning.
Hij had echter maar 12 munten dus heeft hij een valse munt gemaakt.  De valse munt heeft een heel klein beetje ander gewicht dan de echte munten, verder is hij niet van echt te onderscheiden.
Helaas heeft zijn buurman hem verraden.
Als hij de 13 munten op tafel deponeert zegt de schatbewaarder dat er een valse tussen zit. Hij zal hem zelfs vertellen welke het is en of hij zwaarder of lichter is!
Hij buldert:
"Hier is een weegschaal met wat losse kleine gewichtjes, en hier heb ik de aanwijzingen om drie wegingen te doen. Ik heb precies opgeschreven welke gewichten links op de schaal moeten en welke rechts. Jij moet elke keer, indien nodig, gewichten toevoegen om de weegschaal in evenwicht te krijgen. Na afloop wil ik weten welke drie gewichten je moest toevoegen en dan zal ik de valse munt aanwijzen.  En verder zal ik ook precies zeggen hoeveel de valse weegt en hoeveel een zuivere weegt!!!!!
Als ik gelijk heb hang ik je op, als ik het fout heb ben je vrij".

De boer verricht de wegingen. Na afloop vraagt de schatbewaarder "Nou, vertel op: welk gewicht had je bij de eerste weging nodig, welk bij de tweede en welk bij de derde?"
"Nee, dat was niet de afspraak," zegt de boer slim, "Ik hoefde alleen de gewichten te noemen, niet de volgorde!"
"Vertel me dan alleen of je deze drie gewichten aan de linkerkant of aan de rechterkant moest leggen,"
zegt de schatbewaarder ontstemd. "Sorry, ook dat hoef ik niet te zeggen" antwoordt de boer.

"Het zal je niet baten," zegt de schatbewaarder en na enig denkwerk wijst hij feilloos de valse munt aan, en bovendien weet hij ook hoeveel de valse en hoeveel een zuivere wegen!

Hoe deed de schatbewaarder dat? Wat stond er op zijn weegaanwijzingen?
6. Drie soorten munten
Je hebt 2 rode, 2 witte en 2 blauwe ballen.
Van elke kleur weegt één bal 15 gram en de andere 16 gram.
Bepaal welke welke is door twee keer te wegen met een balans (zonder gewichten)
7.  Allemaal verschillende munten.
Voor je liggen 8 munten, allemaal met verschillend gewicht.
Op een balans mag je steeds één munt wegen tegen een andere.
Dan is het minimaal aantal wegingen dat je nodig hebt om de munten op volgorde van zwaar naar licht te leggen gelijk aan 17.
Probeer eerst zelf uit hoe dat moet. Hier staat een mogelijke oplossing, maar die is niet echt heel interessant, geloof me.
Stel echter dat elke keer wegen 10 minuten tijd kost, en dat je de rangschikking in een uur klaar moet hebben. Dan kan dat dus niet!

Maar kan het wél als je 4 weegschalen hebt?
(er zijn assistenten, zodat je wegingen tegelijk kunt uitvoeren).
8. Ook de één na zwaarste.
Je hebt 32 munten, met onbekende maar wel verschillende gewichten, en een balans met twee armen.
In hoeveel wegingen kun je de zwaarste én de één na zwaarste bepalen?
9.  Eén valse in de 101.
Van de 101 munten is er één vals maar je weet niet of hij lichter of zwaarder is.
Hoe kun je door slechts twéé keer te wegen (met een balans met 2 armen) bepalen of hij lichter of zwaarder is?