© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
Oneindig Afdalen ("Infinite Descent")
 
Fermat was één van de eersten die deze methode veelvuldig gebruikte. De redenering waarop deze bewijsmethode is gebaseerd gaat ongeveer als volgt:
Stel dat we willen bewijzen dat een bepaalde eigenschap niet bestaat.  Neem eerst aan dat er een positief geheel getal n is waarvoor de eigenschap wel bestaat. Geef dan een recept hoe je uit dit getal n nieuw getal n2 kunt maken dat kleiner is dan n waarvoor de eigenschap dan ook moet gelden. Als dat lukt kun je volgens hetzelfde recept uit deze n2 een nieuw getal n3 construeren dat weer kleiner is dan n2. En zo als maar door. We krijgen een oneindige rij (n, n2, n3,...) afdalende gehele positieve getallen. En dat kan niet! Dus is de oorspronkelijke aanname dat er een getal n bestond onjuist geweest. Voorbeeld:
√2 is niet te schrijven als breuk (bewijs 3)

Het bewijs:  

Stel dat het wel zou kunnen en dat √2 = a1/b1. Dan geldt het volgende:

We hebben twee nieuwe getallen a2 en b2 gevonden die ook gelijk zijn aan √2.
Maar omdat a1/b1 = √2 is a1 = b1√2 dus b2 = a1 - b1 = b1(√2 - 1) en dat is kleiner dan b1 want √2 - 1 is kleiner dan 1.  Op dezelfde manier geldt dat a2 kleiner is dan a1.
We hebben dus twee rijen positieve gehele getallen gevonden die steeds kleiner worden. Dat kan niet dus √2 kan niet geschreven worden als breuk.


Nou klinkt ""afdalen" nogal negatief, vind ik. Het is echter ook mogelijk om oneindig "op" te dalen.
Om even bij √2 te blijven: stel dat we een rationale benadering r voor √2 hebben.
Dan is (r + 2)/(r + 1) altijd een betere benadering! (het bewijs staat hier)