asymptotische groei


Asymptotische groei.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Jodium-124 is een radioactieve stof die onder het uitzenden van straling langzaam vervalt naar Tellurium-124. Het wordt bijvoorbeeld gebruikt om schildklierkanker op te sporen. Een patiënt krijgt een hoeveelheid Jodium-124 toegediend en die verzamelt zich na een poosje vooral in de schildklier.
Met een zgn. PET-CT scan kan dan de straling van dat Jodium gemeten worden en daarmee kunnen tumoren worden opgespoord.
De halfwaardetijd van Jodium-124 is 4,18 dagen. Dat betekent dat elke dag ongeveer 15,3% van de hoeveelheid Jodium verandert in Tellurium (reken dat zelf maar na).

Stel dat een patiënt op t = 0 een hoeveelheid van 12 milligram I-124 krijgt toegediend, en dat we daarna elke dag meten hoeveel gram Tellurium in zijn lichaam aanwezig is. Dat begint op 0, en al uiteindelijk naar de 12 toelopen, als langzamerhand alle Jodium vervalt. De grafiek zal er daarom uitzien als hieronder.

De recursievergelijking is T_n = T_{n - 1} + 0,153 • (12 - T_{n
-1})
Die laatste term geeft aan dat 15,3% van de Jodium (12 - T) wordt omgezet in Tellurium, dus er bijkomt als Tellurium.

Deze soort groei, waarbij de waarde naar een grenswaarde toeloopt heet asymptotische groei (of ook wel begrensde groei). Een recursievergelijking daarvan ziet er altijd zó uit:

u_n = u_n_-1 + c • (G - u_n_-1)

G is de grenswaarde waar de hoeveelheid uiteindelijk zal eindigen. c is één of andere constante, die per geval verschillend is en heet ook wel de groeivoet. Er geldt wel altijd 0 < c < 1.

In plaats van toename kan er natuurlijk ook afname naar een bepaalde grenswaarde G zijn. Al we bijvoorbeeld in bovenstaand voorbeeld de hoeveelheid Jodium-124 hadden bekeken, dan was die begonnen bij 12 mg en afgenomen naar de grenswaarde G = 0.

Een directe formule.

Nou, die is makkelijk te vinden, als je je maar realiseert dat dit soort groei een speciaal geval is van de al eerder besproken lineaire lineaire differentievergelijkingen. Kijk maar:

u_n= u_n_-1 + c • (G - u_n_{- 1}) ⇒ u_n = u_n_{- 1} + cG - c • u_n_{- 1} ⇒ u_n = (1 - c)• u_n_{- 1} + cG
Daar staat gewoon u_n = a • u_n_-1 + b met a = 1 - c en b = cG.
Daarbij moet wel gelden dat 0 < a < 1.
De directe formule hebben we bij lineaire differentievergelijkingen in opgave1 al afgeleid.
In dit geval wordt dat:

u_n = aⁿ• u₀ + G(1 - aⁿ) met a = 1 - c

Voor bovenstaand voorbeeld geeft dat:
T(n) = 12(1 - 0,847ⁿ) en hiernaast zie je hoe mooi die grafiek inderdaad past bij de berekende punten.

OPGAVEN

Gegeven is de recursievergelijking u_n = 0,76 • u_n_{- 1} + 30
Leg uit waarom hier sprake is van asymptotische groei, en geef de groeivoet en de grenswaarde.

c = 0,24, G = 125

Ik heb een pan kokend water (100 ºC) op het gas staan, haal die eraf op tijdstip t = 0. De temperatuur van het water zal nu langzaam afnemen, en uiteindelijk gelijk worden aan de kamertemperatuur van 20ºC.
De eerste paar minuten meet ik om de minuut de temperatuur, en dat levert de volgende tabel:

t of n	0	1	2	3	4	5	6
T	100	86,4	75,1	65,7	58,0	51,5	46,2

Laat zie dat hier sprake is van asymptotische groei.

Geef een recursievergelijking voor T(n), en bepaal met je GR wanneer de temperatuur voor het eerst minder dan 25ºC zal zijn

n = 15

Geef een directe vergelijking voor T(t), en bereken daarmee algebraïsch opnieuw het antwoord op vraag b).

Een dobbelaar begint te gooien met maar liefst 120000 zuivere dobbelstenen.
Elke keer legt hij al de zessen die hij heeft gegooid apart in een schaal, en gooit met de overgebleven stenen opnieuw.
Stel dat A_n het aantal stenen is dat na de n^de worp in de schaal ligt.
(Je mag als benadering aannemen dat dat aantal niet geheel hoeft te zijn)

Stel een recursievergelijking op die A_n zal benaderen, en leg uit waarom dit asymptotische groei is.

Stel een directe vergelijking op die A_n zal benaderen.

Een moeder heeft een dochter die gaat studeren. Zij wil haar dochter natuurlijk elke maand best wat geld geven, maar ze vindt wel dat de dochter zo langzaamaan moet leren op eigen benen te staan. Daarom heeft ze de volgende constructie verzonnen.
Ze geeft een bedrag van €20.000 op een rekening gezet.
De eerste dag van de maand stort de bank 5% van het bedrag dat er dan op staat op de rekening van de dochter.
De eerste maand krijgt de dochter dus €1000, maar dat bedrag zal in de loop der maanden steeds kleiner worden.
Noem het totaalbedrag dat de studente na n maanden heeft ontvangen gelijk aan T(n).

Stel een recursievergelijking op voor T(n).

Stel een directe vergelijking op voor T(n).

Stel dat de studente elke maand €600,- nodig heeft.

Bepaal met je GR dan hoelang ze het met deze constructie kan volhouden zonder eigen bijverdiensten.

23 maanden

Bepaal in de hoeveelste maand de studente voor het eerst minder dan €600,- op de rekening krijgt bijgeschreven.

maand 11