Het complexe vlak.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Zo, we hebben dan nu wel een nieuw getal, √(-1) = i  geïntroduceerd, maar dan blijft toch die knagende vraag:
Wat moet je je er bij voorstellen?

Kijk, al die gewone getallen dat was geen probleem; die kunnen we ons makkelijk voorstellen want die liggen met z'n allen netjes op een getallenlijn.
Ook negatieve getallen passen er op, en zelfs vreemde getallen als -5/7 en  √2 en p en e hebben allemaal een plekje. 

Maar waar ligt i ?

We kunnen op het spoor van i komen als we gaan kijken wat de basisbewerkingen doen met getallen op de getallenlijn. In feite gaan we proberen algebra (rekenkundige bewerkingen) te vertalen maar meetkunde.

Wat kenmerkt nou een getal?
Dat is zijn afstand tot  het getal nul (hoe groot het getal is) en verder zijn richting (naar rechts positief en naar links negatief  hebben we afgesproken). Laten we daarom een getal zien als een pijl naar links of naar rechts vanaf het getal 0. Hier zie je een paar getallen en hun pijl:

OPTELLEN en  AFTREKKEN
Dat doe je door gewoon de pijlen aan elkaar te leggen.  Het begin van de tweede pijl aan het uiteinde van de eerste. Dat heet de kop-aan-staart methode. Het resultaat van een optelling loopt van het begin van de eerste pijl naar het eind van de tweede. Hieronder zie je twee optellingen:  3 + 2 = 5   en   2 + (-6) = -4  

Aftrekken is eenvoudig te doen: zie het gewoon als erbij optellen van een negatief getal. 
2 - 8 kun je zien als 2 + (-8)
VERMENIGVULDIGEN
Vermenigvuldigen met een positief getal maakt de afstand tot het getal 0 zoveel keer zo groot.
Hieronder zie je  3 • 2 = 6 en  4 • -1 = -4

VERMENIGVULDIGEN met -1
Dat betekent dat het teken omdraait, en op de getallenlijn betekent dat dat het getal wordt gespiegeld ten opzichte van 0. Het komt precies even ver aan de andere kant. Hieronder zie je  5 • -1 en  -3 • -1

VERMENIGVULDIGEN met i
Van vermenigvuldigen met i weten we nog niet zoveel. Het enige dat we tot nu toe kunnen zeggen is:
 
"Als je het twee keer doet, dan is dat hetzelfde als vermenigvuldigen met -1"

Immers   i •  i  = -1
En ook  4 • i • i = -4  en   -6 • i • i = 6
We willen daarom graag het vermenigvuldigen met -1 opsplitsen in twee delen. Maar ja, hoe doe je dat? Hoe spiegel je halverwege? Je kunt moeilijk zeggen  "We gaan eerst halverwege tot het getal 0" , want dan zou vermenigvuldigen met i dus altijd nul opleveren.  Bovendien: hoe moet je de tweede etappe dan maken? In nul ben je vergeten waar je vandaan bent gekomen, dus ook waar je naar toe moet.
Problemen.......Problemen!!!.......Problemen!!!!!

De oplossing is gelukkig heel eenvoudig.
Als je je maar realiseert dat spiegelen in een punt hetzelfde is als draaien over 180º.
En draaien over 180º kun je heel makkelijk in twee etappes opsplitsen, namelijk twee keer draaien over 90º.
Conclusie:

vermenigvuldigen met i
= "halverwege" draaien over 180º
= draaien over 90º
Dus waar ligt het getal i:    het is 1 • i  dus we moeten het getal 1 draaien over 90º:

YES! Gevonden!!
Het kostte zo'n moeite om i  te vinden omdat hij zich niet OP onze getallenlijn bevond,  maar er BOVEN!

i verschool zich al die tijd gewoon in een andere dimensie!

Maar nu hebben we hem te pakken en daarmee alle broertjes als 2i en 3i en zo ook: gewoon draaien over 90º.
Dat betekent dat de complexe getallen niet meer netje op een lijn liggen, maar in een vlak.
Dat  "complexe vlak"  ziet er dus zó uit:

In plaats van het te hebben over de x-as en de y-as, spreken we in het complexe vlak over de Reeële as  en de Imaginaire as.
Bedenk goed dat zo'n "punt" in dat complexe vlak dus niet  een punt is zoals je met coördinaten in het reële vlak gewend bent! In het complexe vlak is een punt een getal, en niet een combinatie van twee getallen!! Dat blauwe punt hierboven heeft dus NIET coördinaten 2 en 3i,  nee:  het is in zijn geheel  het  getal  z = 2 + 3i.
   
  OPGAVEN
1. Teken in het complexe vlak de verzameling van  alle getallen z waarvoor geldt:
a. Re(z) = -5 c. Im(z) < 3 e. (Re(z))2 + (Im(z))2 = 16
b. Re(z) = Im(z) d. -2 < Re(z) < 4 f. Re(z) < 2 • Im(z)
2. Waar in het complexe vlak denk je dat √i zal liggen?  Kun je √i  schrijven als a + bi ?
 
1/2√2 + i1/2√2
3. Teken in het complexe vlak de getallen z1 en z2, en vervolgens ook de getallen
z3 = z1 + z2  en  z4 = z1 - z2 en  z5 = 3 • z1
       
a. z1 = 2 - 4i  en  z2 = 4 + 3i
b. z1 = -1 - i  en  z2 = 5i
c. z1 = -4 + 3i  en  z2 = 3
OPTELLEN in het complexe vlak
Neem de complexe getallen  a + bi  en  c + di.
Wat krijg je als je die optelt?
Nou:  a + bi +  c + di = (a + c) + (b + d)i

In de tekening hierboven zie je dat het optellen van de complexe getallen z1 en z2 neerkomt op het achter elkaar aan leggen van de pijlen die bij die getallen horen. We noemen zulke pijlen vectoren  en die methode van aan elkaar leggen om op te tellen heet de kop-aan-staart methode.

Je ziet dat je een complex getal op twee manieren gebruikt:
• Als een punt in het vlak
• Als een vector bij het optellen.

   
   

introductie van i

    

poolcoördinaten
4. Teken in het complexe vlak de volgende optellingen:
a.   (4 - 3i) + (5 + 3i)
b.   -2i  + (-3 - i)
c.    4 + (2 - 3i) + (i + 5)  
5. Onderzoek met een aantal getallen en bijbehorende tekeningen hoe aftrekken in het complexe vlak in zijn werk gaat.

a.   Teken daarna in de figuur hiernaast het getal z1 - z2.
b.   Teken:  (-3 - 4i) - (1 - 3i) + (6 - 4i)
6. z1 is het punt  3 + i
z2 ligt op de lijn waarvoor geldt  Re(z) = Im(z) - 4
z3 is een punt zodat geldt  z2 + z3 = z1
Teken een aantal mogelijke waarden voor z2 en z3.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)