Een nieuw soort getallen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Laten we de volgende vergelijking gaan oplossen:  4x2 + 8x + 5 = 0
Stop maar in de ABC-formule: 

En daar houdt het op.......
Nou ja, je zou nog kunnen schrijven 
√(-16) = √(-1 • 16) = √(-1) • 16 = 4√(-1). 
Dan staat er  x = -1 ± 1/2√(-1)
Maar dan houdt het écht op.....
Die √(-1), dat mag  immers niet?

Mág niet?
VAN WIE NIET?

Laten we het gewoon tóch doen! 
We zeggen gewoon dat √(-1) wél een getal is en noemen het voortaan....  i
De oplossingen van bovenstaande vergelijking zijn dan x = -1 + 0,5i  en  x = -1 - 0,5i
Deze nieuwe soort getallen heten complexe getallen, en zoals je aan de x-en hierboven ziet bestaan ze meestal uit een "normaal" deel (-1) en een "vreemd" deel  (0,5i). We geven ze aan met de letter z.
Dat normale deel noemen we het "Reële deel;  Re(z) ",  en dat vreemde deel met die i erin noemen we het "Imaginaire deel;  Im(z)"

z = a + bi 

met  a = Re(z) en  b = Im(z)
Er is maar één voorwaarde waar we ons aan moeten houden: de nieuwe getallen moet wel passen in ons oude systeem. Dat betekent dat alle regels die voor de "normale"  getallen gelden, ook voor de complexe getallen moeten gelden.
Bijvoorbeeld, om er maar een paar te noemen:
a + b = b + a    en    a • b = b • a  .....(1)
a • (b + c) = a • b + a • c .....(2)
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) .....(3)
We willen namelijk wel graag dat onze nieuwe getallen passen bij de getallen die we al hadden, zodat het één nieuw systeem wordt. Dus zullen deze simpele afspraken over vermenigvuldigen en optellen zeker ook voor complexe getallen moeten gelden.
Laten we langslopen wat dat voor de basisbewerkingen met complexe getallen betekent.
1. OPTELLEN en AFTREKKEN.
Eigenschap (2) betekent bijvoorbeeld dat  2i + 3i = 5i     (  i • 2 + i • 3 = i • (2 + 3) = i • 5  )
Eigenschap (1) en (3) betekenen bijvoorbeeld dat  2 + 3i + 4 = 2 + 4 + 3i = (2 + 4) + 3i = 6 + 3i
Samengevat:

(a + bi)  + (c + di) =  (a + c) + (b + d)i

Ofwel: "Je telt de reële delen bij elkaar op en de imaginaire ook"
Makkie, als je dit niet had gelezen had je het vast ook zo gedaan.
2. VERMENIGVULDIGEN.
Gewoon maar weer zoals we gewend zijn, met haakjes wegwerken:


Daarbij is gebruik gemaakt van het feit dat  i2 = -1
3. DELEN.
Dit is wat lastiger, en we gaan een TRUC gebruiken.
Misschien dat een voorbeeld het duidelijk maakt:
   

   
De grote TRUC zit hem meteen in de eerste stap. Als in de noemer staat a + bi  dan vermenigvuldig je teller en noemer beiden met a - bi.  Dat heeft tot gevolg dat de i uit de noemer verdwijnt (POOF!).
   
De geconjugeerde.
   
Die a - bi  hierboven die we tevoorschijn haalden bij  a + bi  heet de geconjugeerde van het getal a + bi
Een complex getal komt vaak samen voor met zijn geconjugeerde, dat zullen we nog een aantal keer tegen komen.
Als we een complex getal met de letter z aangeven, dan wordt de geconjugeerde ervan meestal met  z met een streepje erop:
   

   
Hierboven bij het delen van complexe getallen zie je bijvoorbeeld dat de vermenigvuldiging van een complex getal met zijn geconjugeerde als resultaat een reëel getal heeft: de imaginaire delen vallen tegen elkaar weg!
De geconjugeerde heeft nog meer interessante eigenschappen:
   

   
Het bewijs van deze leuke eigenschappen mag je zelf in opgave 5 hieronder proberen te leveren.
   
     

     

het complexe vlak
   
  OPGAVEN
1. Schrijf zo eenvoudig mogelijk:
a. (2i)2 + 8
  4 
f. 1 + i2 + 6i4 
  6 
b. (-6i)3
 216i 
g. (-3i)3 - 4i
  23i 
c. 2i4 + 2
  4 
h. i - i2 - i3 - i4 - i5
  i
  d. -2i • 6i
  12 
i. i3000
  1 
  e. (-i)3 - 4i
  -3i 
j. (2 - i)(2 + i)
  5 
 
2. Bereken, en schrijf in de vorm  a + bi:
a. i • (2 + 3i)
  -3 + 2i 
f. i + 2 - (3 - 5i)
  -1 + 6i 
b. (6 - 2i) • (5 + 3i)
  36 + 8i 
g. (2i - 1)3
  11 - 2i 
c. (1 - i)2
  -2i 
h. (4i - 2) • (-3 - i)
  10 - 10i 
  d. -4i • (-2i - 6)
  -8 + 24i 
i. 3i • (2i • (i - 1))
  6 - 6i 
  e. i - (6 - 3i)
  -6 + 4i 
     
 
3. Bereken, en schrijf in de vorm  a + bi:
a.
  1 + 0,5i 
f.  
  -1 + i 
b.
  1,8 + 2,4i 
g.  
  -0.3+0,1i 
c.
  i 
h.  
  2/13 + 10/13i 
  d.
  -0,3+ 0,1i 
i.
  3,5 + i 
  e.
  -2 + 4i 
     
 
4. Los op, en schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk:
a. z2 + 4 = 0
  ±i√2 
d. (z - 2)(z  + 1) = 4z2  
  -1/6±1/6i√23 
  b. z2 + 2z + 8 = 0
  -1 ± i√7 
e. z4  + 6z2 + 8 = 0
  ±i√2 en ±2i 
c. z3 + 6z2 + 16z = 0
  0 en -3± i√7 
f. 2z3 + z5 = 0
  0 en ± i√2 
           
5. Toon aan dat de drie eigenschappen die hierboven voor de geconjugeerde werden gegeven inderdaad kloppen.
Doe dat door z te schrijven als a + bi
 
 
OPMERKING achteraf.

Niet álle regels van de gewone getallen kunnen blijven gelden.
Bijvoorbeeld de regel √a • √b = √(ab)  kunnen we voor complexe getallen niet handhaven.

Kijk maar, dan zou gelden:
(√(-1))2 = √(-1) • √(-1) = -1       immers  √a • √a = a

Maar ook met deze regel:
(√(-1))2 = √(-1) • √(-1) = √(-1 • -1) = √1 = 1

Ai; we vinden     -1 = 1

We zullen de regels voor rekenen met machten bij complexe getallen moeten aanpassen. Maar uiteraard worden dit alleen uitbreidingen: voor de reële getallen moeten die uitbreidingen toch weer de gewone regels opleveren.
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)