complexe wortels


Complexe wortels.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Stel dat we willen oplossen de vergelijking z³ = 4 + 10i

Dan kun je proberen te schrijven z = a + bi en dan (a + bi)³ gaan uitschrijven en dan het reële deel daarvan gelijk te stellen aan 4 en het imaginaire deel aan 10. Die vergelijkingen met a en b los je dan op om a en b te vinden.
Tuurlijk, dat kun je best. Als je een regenachtige zondagmiddag niets te doen hebt is het misschien nog wel leuk werk ook...Alhoewel ik bang ben dat je die twee vergelijkingen niet kunt oplossen.......

Maar met de formule van de Moivre kan het stukken sneller.
Laten we beide kanten van de vergelijking met poolcoördinaten gaan schrijven.

• 4 + 10i = √116 • (cos 1,19 + i • sin1,19)
     (de 1,19 is uiteraard afgerond)
• Stel z = r(cosφ + i • sinφ)
     dan is z³ = r³ • (cos3φ + i • sin3φ)

Dus moet gelden:
√116 • (cos 1,19 + i • sin1,19)
= r³ • (cos3φ + i • sin3φ)
Daaruit volgt r³ = √116 dus r = 2,21 en 3φ = 1,19 dus φ = 0,40

Conclusie: z = 2,21 • (cos0,40 + i • sin0,40)
Of in andere vorm: z = 2,04 + 0,85i
Nog even controleren met het plaatje hiernaast: JA KLOPT!

En toch klopt er iets niet!
Kijk maar naar de plaatjes hieronder. Daar staan nóg twee getallen z waarvoor óók geldt z³ = 4 + 10i

Ga zelf maar na dat de hoeken en de lengtes kloppen. Er is dus niet één oplossing voor deze vergelijking, maar er zijn er drie, die je hiernaast ziet. Ze lijken zelfs netjes de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek te zijn....
Hoe kan dat?
Wat hebben we gemist en hoe kunnen we dat oplossen?

De fout zit hem in de allereerste stap!
Daar stelden we dat 10 + 4i = √116 • (cos 1,19 + i • sin1,19)
Dus r = √116 en φ = 1,19.........

Dat klopt natuurlijk wel, maar het is niet volledig.
Immers, als je 2π optelt bij de hoek, dan kom je ook in het zelfde punt uit! En ook bij 4π en 6π en .....
Er had moeten staan
r = √116 en φ = 1,19 + k • 2π

De rest van de oplossing was dan zó gegaan: r = 2,21 en 3φ = 1,19 + k • 2π dus φ = 0,40 + k • ²/₃π
Dat laatste had inderdaad tussen 0 en 2π DRIE verschillende oplossingen gegeven, zoals we grafisch al zagen.
Die drie oplossingen hebben dezelfde r, en hun hoeken schelen precies ²/₃π van elkaar, dus ze liggen inderdaad precies op de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek.

Hoe is het bij andere machten?
Verander de 3 in een n, dan komt er uiteindelijk te staan φ = .... + k • ²/_nπ en op r heeft het geen invloed.
We vinden dus n oplossingen met dezelfde r die een hoek ²/_nπ van elkaar verschillen.
De oplossingen liggen op de hoekpunten van een regelmatige n-hoek.

Tijd voor een conclusie:

zⁿ = a heeft n oplossingen.
die oplossingen liggen op de hoekpunten van
een regelmatige n -hoek.

Kun je nagaan wat we vroeger eigenlijk armoedig bezig waren.
Toen zeiden we bijvoorbeeld x⁶ = 12 dan volgt daaruit x = (12)^1/6 = 1,513...
En toen moesten we, omdat we graag wilden dat x⁶ een functie was, er nog extra bijleren dat x = -12^1/6 óók een oplossing was. Terwijl er eigenlijk al die tijd nóg vier oplossingen waren!!!
Maar ja, die zagen we niet omdat we zo'n beperkte bril ophadden, waarmee we alleen de reële as in beeld hadden:

WAAUW! Een hele wereld lag voor ons verborgen!
En nu we al die oplossingen zien, stappen we ook maar af van dat krampachtige idee dat een wortel maar één uitkomst mag hebben. We moeten eigenlijk wel. Eén speciaal geval bekijken gaat nog, maar zoveel extra gevallen wordt een beetje te ingewikkeld.
Daarom zeggen we voortaan gewoon dat³√x drie uitkomsten heeft en ⁴√x vier uitkomsten en ⁵√x vijf uitkomsten enz.

Complexe wortels zijn meerwaardig

Trap er niet in!

Voor complexe wortels geldt NIET meer de eigenschap √a • √b = √(ab)
Als je daaraan blijft vasthouden krijg je rare dingen als dit:

√(-1) • √(-1) = i • i = -1
√(-1) • √(-1) = √(-1 • -1) = √(1) = 1

Dus hebben we bewezen dat -1 = 1

Wat had je moeten zeggen?
√a heeft twee mogelijkheden, √b heeft twee mogelijkheden, dus √(ab) heeft 4 mogelijkheden (maximaal; er kunnen dubbelen verschijnen natuurlijk).

In dit geval: √-1 = i of -i
Dus √-1 • √-1 = i • i of i • -i of -i • i of -i • -i en dat is -1 of 1 of 1 of -1


vectoren			lineaire functies

Los op en geef in de vorm a + bi: (bereken indien nodig a en b in twee decimalen).

z³ = 8i

±√3+i
-2i

z³ = 6 + 4i

1.89 + 0.38i
-1.27 + 1.45i
-0,62 - 1.83i

z² = 2 + 6i

±(2.04 + i • 1,47)

(z - i)³ = 3i + 5

1.77 + 1.32i
-1.16 + 2.37i
-0,61 - 2.69i

z⁵ = -32

1,62 ± 1,18i
-0,62± 1,90i
-2

(2i + 3 + 2z)³ = 2 - 2i

-0.82 - 1.18i
-1.69 - 0.32i
-2 - 1.5i

z⁴ = 1 + i

±(1,07 + 0,21i)
±(0,21 - 1,07i)

(iz)⁵ = 2i

1,15
0.35 ± 1.09i
-0,93 ± 0.68i

Bereken alle mogelijke uitkomsten van de volgende uitdrukkingen, en schrijf die in de vorm a + bi:

√(2 - 3i)

±(1.67 - 0,90i)

1.12 - 0.30i
0.63 + 0.97i
-0.72 + 0.90i
-1.08 - 0.41i
0.06 - 1.15i

√(2 + 2i) + √(3i)

±(2.78 + 1.87i)
±(0.33 - 0.58i)

2.11 - 0.46i
-0.66 + 2.05i
-1.45 - 1.59i

Los op: (z² + 2i)³ = 4 + 5i

±(1.43 - 0.51i) en ±(0.31 - 1.21i) en ±(1.31 + 1.46i)

Een wortel exact....
In deze opgave ga je √(¹/₂√3 + ¹/₂i) berekenen. Dat ga je doen op twee verschillende manieren.

Toon met de regel van de Moivre aan dat geldt :
√(¹/₂√3 + ¹/₂i) = cos(¹/₁₂π) + i • sin(¹/₁₂π)

Door te stellen √(¹/₂√3 + ¹/₂i) = a + bi, dus (a + bi)² = ¹/₂√3 + ¹/₂i kun je door de haakjes weg te werken twee vergelijkingen opstellen voor a en b

Toon aan dat geldt a² - b² = ¹/₂√3 en 2ab = ¹/₂

Toon aan dat daaruit volgt a² = ¹/₄√3 + ¹/₂

Wat volgt daaruit voor de exacte waarde van cos ¹/₁₂π?

Hiernaast zie je in het complexe vlak een punt z getekend en daarmee ook z², z³, z⁴, enz.
Er is ook een cirkel met straal 2 en middelpunt O getekend, maar verder is er geen schaalverdeling.

Hoe kun je in één oogopslag zien dat de afstand van z tot O groter dan 1 is?

De machten van z vormen een soort van spiraal. Het lijkt erop dat z⁸ bijna op de cirkel met straal 2 ligt, en dat z¹⁰bijna op de negatieve imaginaire as ligt.

Wat moet je voor z kiezen zodat dat niet bijna klopt, maar exact?

2^1/8(cos27 + isin27)