bewegingen in het complexe vlak


Bewegingen in een plat vlak.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een complex getal kun je zien als een punt P in het complexe vlak met een r en een φ , maar óók als een vector OP met een lengte en een richting.
We zijn over de bewerkingen met complexe getallen intussen twee dingen te weten gekomen:

Met optellen kunnen we die vectoren kop-aan-staart leggen
Met vermenigvuldigen kunnen we die vectoren draaien en korter/langer maken.

Hoogste tijd deze kennis toe te gaan passen.

Voorbeeld 1.

Een gelijkzijdige driehoek ABC heeft A = (1,6) en B = (4,2)
Geef de coördinaten van punt C.

De oplossing is eenvoudig:

"Als je zo graag wilt weten waar C ligt,
dan loop je er toch gewoon vanaf O naar toe?"

Natuurlijk: met vectoren geldt er dat OC = OB + BC. Die OB is een makkie, maar hoe groot is vector BC?
Laten we de figuur verplaatsen naar het complexe vlak.
Daar zie je dat je vector BC kunt krijgen door vector BA over een hoek van -60º te draaien (met de klok mee is negatief).
Maar draaien over -60º is hetzelfde als vermenigvuldigen met het getal cos(-60º) + isin(-60º) en dat is ¹/₂ - ¹/₂i√3.
Vector BA hoort bij het complexe getal -3 + 4i (loop maar van B naar A)
Dus hoort BC bij het getal:
(-3 + 4i) • (¹/₂ - ¹/₂i√3) = (-1¹/₂ + 2√3) + i(1¹/₂√3 + 2)
Dan is OC = OB + BC = (4 + 2i) + (-1¹/₂ + 2√3) + i(1¹/₂√3 + 4)

Dat is 2¹/₂ + 2√3 + i(1¹/₂√3 + 4) dus is C in het "normale vlak" het punt C = (2¹/₂ + 2√3 , 1¹/₂√3 + 4)

Oké, hoor ik je al denken; wat een gedoe om eigenlijk niets. Dat had ik ook wel in twee minuten met een paar handige driehoekjes en sos-cas-toa en Pythagoras kunnen uitrekenen.
En dat is waarschijnlijk ook zo..... Maar dat is nog geen reden om zo verwaand te doen!
Het was ook nog maar een beginvoorbeeldje om het idee te pakken te krijgen. Laten we een stapje verder gaan:

Voorbeeld 2.

Hier staat een regelmatige 17-hoek met zijden 2.
Bereken afstand OF in drie decimalen nauwkeurig.

Leg de hele figuur in het complexe vlak met O in de oorsprong en A = 2
Bij elke zijde van de 17 hoek wordt de vorige zijde gedraaid over een hoek ³⁶⁰/₁₇. Dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met het complexe getal
z = cos(³⁶⁰/₁₇) + isin(³⁶⁰/₁₇)
OF = OA + AB + BC + CD + DE + EF
OF = 2 + 2z + 2z² + 2z³ + 2z⁴ + 2z⁵

Voer in de GR in cos(³⁶⁰/₁₇) + isin(³⁶⁰/₁₇) en druk op ENTER
Sla dit getal op in X: STO X
Bereken 2 + 2X + 2X² + 2X³ + 2X⁴ + 2X⁵ en je vindt 5,87165 + i • 7,77532. Dat geeft dus punt F.
De afstand OF kun je met Pythagoras vinden (√(5,87...² + 7,77...²) ) maar het kan ook in één keer als je bedenkt dat het de modulus van het getal F is: MATH - CPX - abs(ANS)
In beide gevallen vind je OF ≈ 9,743

Bereken de hoogte van de regelmatige zevenhoek hiernaast, met zijden 3, in twee decimalen nauwkeurig.

6,57

Op een voorwerp werken drie krachten. Zie de figuur hiernaast.
Bereken door gebruik te maken van complexe getallen de resulterende kracht en de richting daarvan

1,13 N en -66º

Een schip vaart in een rechte lijn het traject van haven A naar haven B die 240 km uit elkaar liggen (zie hiernaast). Er staat echter een stroming van 20 km/uur in de richting als hiernaast aangegeven. Het schip vaart ten opzichte van het water met 80 km/uur.
Als het schip ten opzichte van het water koers AB aanhoudt, dan drijft het dus af.

Hoe ver vanaf B is het schip in dat geval na 3 uur?

60 km.

Een beroemd raadsel van George Gamov.

Een aantal piraten begraven een schat op een eiland. Ze markeren drie bomen; A, B en C.
Daarna lopen ze van B naar C, draaien 90º naar links en lopen in die richting nog een zelfde afstand. Op de plaats waar ze dan zijn zetten ze een stok in de grond (S₁).
Vervolgens lopen ze van B naar A, draaien 90º rechts en lopen nogmaals de afstand BA. Ook daar zetten ze een stok in de grond (S₂).
Ten slotte begraven ze de schat midden tussen beide stokken op plaats S. Ze verwijderen de stokken en zeilen tevreden weer weg.

Echter, als ze later terugkomen om de schat weer op te graven blijkt boom B verdwenen te zijn!
Hoe kunnen ze de schat terugvinden?

Stel dat de situatie is als hiernaast, waarbij we een assenstelsel hebben aangelegd met C als oorsprong.
In dit geval is dus A = (4 + 5i).

Stel dat B het willekeurige punt (a + bi) is.

Om van B bij stok 1 (S₁) te komen moet je van B naar C lopen, dan draaien over 90º en dan even ver naar S₁ lopen. Welk complex getal hoort bij S₁?

b - ia

Om van B bij stok 2 (S₂) te komen moet je van B naar A lopen, dan draaien over -90º en dan even ver naar S₂ lopen. Welk complex getal hoort bij S₂?

(9 - b) + i(1 + a)

Waar ligt de schat? Ofwel: Welk complex getal hoort bij S?

4¹/₂ + ¹/₂i

Toon aan dat, onafhankelijk van de coördinaten van A, de piraten altijd van C halverwege naar A moeten lopen, dan 90º rechtsom moeten draaien en dan nog een even groot stuk door moeten lopen om in S te komen.

Hiernaast zie je een driehoek ABC waarvan hoek B gelijk is aan 45°. Verder is AB = 2 • BC
Als A = (1,8) en B = (6,2) kun je de coördinaten van C makkelijk met complexe getallen uitrekenen,

Geef de coördinaten van punt C in twee decimalen nauwkeurig

Robots

som van een meetkundige rij

Een robot staat in de oorsprong van een plat vlak en begint met een stap van 8 naar rechts te nemen. De volgende stappen die hij gaat nemen neemt hij volgens zijn programma:

Draai over 60º.
Maak de stapgrootte 80% van de vorige stap.

Vermenigvuldigen van de lengte met 0,8 betekent r = 0,8.
Draaien over 60º betekent vermenigvuldigen met cos(60º) + isin(60º)
Beide doen betekent dus vermenigvuldigen met z = 0,8(cos(60º) + isin(60º))
Dat is z = 0,8(0,5 + 0,5i√3) = 0,4 + 0,4i√3

Na 1 stap staat de robot in 8
Na 2 stappen staat de robot in 8 + 8z
Na 3 stappen staat de robot in 8 + 8z + 8z²
en zo gaat dat maar door......

Waar staat hij na 10 stappen?

Nou: in punt 8 + 8z + 8z² + ... + 8z⁹ en daar staat een meetkundige rij.

Berekenen met de GR geeft 5,4075 + i • 7,4839

Waar komt hij uiteindelijk uit?

De som van oneindig veel termen van de meetkundige rij levert

Grappig; zo kun je een punt "wurgen"!!
Laat het robotje een touw meenemen en dat bij elk draaipunt in de grond vastslaan en je krijgt het plaatje hiernaast.

Dat punt daar in het midden krijgt het uiteindelijk aardig benauwd zo!


draaivermenigvuldigen			wortels

Een robot staat in de oorsprong. Zijn eerste stap is 5 naar rechts. Vervolgens draait hij steeds over 20º en reduceert zijn volgende stap tot 70% van de laatste.

Waar is de robot na 12 stappen? (geef de coördinaten in 3 decimalen)

9,795 + i•7,028

Waar zal de robot uiteindelijk eindigen? (geef de coördinaten in 3 decimalen)

9,810 + i•6,863

Een killer-bot staat in de oorsprong klaar om een punt te gaan wurgen. Zijn eerste stap zal 10 naar links zijn. Tot welk percentage moet hij elke volgende stap steeds reduceren, en over welke hoek moet hij draaien om uiteindelijk het punt (4,4) te gaan wurgen?

factor 0,88
hoek 8,13º

Bekijk de som S = 1 - ¹/₂ + ¹/₄ - ¹/₈ + ¹/₁₆ - ¹/₃₂ + ...
Deze som is op twee manieren te berekenen.

Bereken deze som door een robot op pad te sturen naar het eindpunt.

²/₃

Bereken deze som door hem te splitsen in een rij positieve getallen en een rij negatieve getallen.

Ja, Dûh!

Een robot halveert elke keer zijn stapgrootte, en draait over een bepaalde hoek. Hij begint met een stap van grootte 1 naar rechts.
Welke hoek kan hij het best kiezen om uiteindelijk zo ver mogelijk van de x-as af te komen?

φ = ±36,87º