driehoeksongelijkheid


De Driehoeksongelijkheid.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De volgende uitspraak zul je waarschijnlijk heel logisch vinden.

"De kortste verbinding tussen twee punten
is een rechte lijn".

Het is misschien iets voor een tegeltje aan de muur, zoals hiernaast.
En toch heeft zoiets simpels, waar iedereen het wel mee eens zal zijn, belangrijke wiskundige gevolgen.....

Kijk maar naar de willekeurige driehoek ABC hieronder:

Als de kortste verbinding tussen A en B de lengte van lijnstuk AB is, dan betekent dat dus dat de route van A via C naar B langer is. Ofwel: AB < AC + CB
Maar precies hetzelfde geldt natuurlijk voor de kortste verbinding tussen A en C en ook voor de kortste verbinding tussen B en C. Dat geeft dan AC < AB + BC en BC < AB + AC
In woorden samengevat:

één zijde van een driehoek is altijd korter dan de andere twee samen

Dit is wat wiskundigen noemen de driehoeksongelijkheid.
Waarschijnlijk denk je nu iets als: ja...DÛH!!!
Terecht.
Ik geef het toe: deze driehoeksongelijkheid is erg eenvoudig. Vooral natuurlijk met het plaatje van de driehoek hiernaast die niet lukt als twee zijden samen korter zijn dan de derde.

Nou, mooi dat je het eenvoudig vindt.
Meteen maar even toepassen dan?

Voorbeeld.

Drie hutjes staan op de hoekpunten van een vierhoek. Men wil ergens tussen de drie hutjes graag een pomp aanleggen zodat de totale loopafstand van de vier hutjes naar de pomp samen zo klein mogelijk is.

Waar moet de pomp komen?????

oplossing:

De beste plaats is het snijpunt S van de diagonalen van de vierhoek!.
Kijk maar naar de onderste figuur hiernaast.
driehoeksongelijkheid in driehoek APC: SA + SC = AC < PA + PC
driehoeksongelijkheid in driehoek DPB: SB + SD = BD < PB + PD

deze twee optellen geeft AS + SC + SB + SD < PA + PC + PB + PD

q.e.d.

Overigens, een mooi formeel bewijs van de driehoeksongelijkheid (uiteraard weer van Euclides) staat hiernaast. Alleen voor de echte bewijs-liefhebbers!!

OPGAVEN

In een willekeurige driehoek geldt altijd dat de lengte van de zwaartelijn AM kleiner of gelijk is aan het gemiddelde van de zijden AB en BC.
Ofwel AM ≤ ¹/₂(AB + BC)

Toon dat aan, en maak daarbij gebruik van het feit dat de lengte van de middenparallel MN gelijk is aan de helft van AC.

Voor vier willekeurige punten A, B, C en D geldt: AB + BC + CD ≥ AD
Toon dat aan.

Voor een willekeurig punt P binnen een driehoek ABC geldt dat 2 • (AP + BP + CP) altijd minstens gelijk is aan de omtrek van de driehoek.
Toon dat aan.

Kleine Karel heeft voor zijn verjaardag een bootje van zijn papa en mama gekregen. Hij staat op de oever en een eindje verderop drijft zijn bootje in het water (dat lager dan de wal ligt). Gelukkig heeft hij zijn bootje vast aan een stuk touw.

Hij trekt het bootje naar de kant toe door het touw één meter in te trekken.
Vermindert de afstand van het bootje tot de kant dan met méér, minder of gelijk aan één meter?

Bewijs dat de lengte van een willekeurige zijde van een driehoek altijd minder is dan de helft van de omtrek.

Een driehoek heeft gehele getallen als lengtes van de zijden.
De eerste zijde is drie maal zo lang als de tweede.
De derde zijde is 15.
Wat is de grootst mogelijke omtrek van de driehoek?

Mijn vriend Hans heeft een punt P in een vierkant ABCD geplaatst, zodat de omtrek van de driehoeken PDA, PAB en PBC respectievelijk gelijk zijn aan 4,7 en 5,7 en 4,3
Hij beweert dat hij nu de omtrek van driehoek PCD kan beredeneren.

Toon aan dat dat inderdaad zo is, en dat die omtrek gelijk is aan 3,3

En toch klopt er iets niet aan zijn bewering........

Toon aan dat z kleiner dan 1,65 moet zijn, en laat zien dat daaruit volgt dat a + b > 4,05

Leg uit waarom daaruit volgt dat er binnen het vierkant niet zo'n punt P te vinden is!

Voor een parallellogram geldt altijd: de som van twee niet-evenwijdige zijden is kleiner dan de som van de diagonalen.
Toon dat aan.

Als a en b en c de zijden van een driehoek zijn, bewijs dan dat geldt: