Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Drie paraboolformules

Der vorige les hebben een formule voor een parabool opgesteld met behulp van de coördinaten van de top.
Dat was deze formule:

y = a(x - p)² + q

Daarbij was de top (p, q) en was a een getal dat de vorm (kromming) van de parabool bepaalde.
Maar ja, je hebt natuurlijk lang niet altijd de coördinaten van de top......

Er zijn nog twee andere manieren om een formule van een parabool op te stellen. Die twee manieren zullen we deze les bekijken.

Methode 2: Met de nulpunten.

Om de nulpunten van een parabool te vinden schrijf je "=0" achter de formule en dan ga je die vergelijking oplossen.
Bijvoorbeeld: Neem de parabool y = 2x² - 20x + 42
Nulpunten: 2x² - 20x + 42 = 0
2(x² - 10x + 21) = 0
2(x - 7)(x - 3) = 0
x = 7 ∨ x = 3

Maar het kan natuurlijk ook andersom!

Als je de nulpunten al wéét, dan kun je dat gebruiken om een formule op te stellen.
Met de nulpunten x = 3 en x = 7 hierboven zou je direct de formule y = a(x - 3)(x - 7) kunnen opstellen, immers als je dan voor 3 of 7 invult komt er inderdaad nul uit, dus die grafiek gaat inderdaad door de punten (3,0) en (7,0).
En om dat getal a te berekenen moet je dan weer een willekeurig ander punt van de parabool invullen (net zoals we de vorige les deden)

Voorbeeld: Geef de vergelijking van de parabool door (4, 0) en (-3, 0) en (2, 8)

Oplossing:
Omdat de nulpunten x = 4 en x = -3 zijn beginnen we met de formule y = a(x - 4)(x + 3)
Vul dan punt (2, 8) in: 8 = a(2 - 4)(2 - 3)
8 = a ·-2 ·-1
a = 4
De gezochte formule is y = 4(x - 4)(x - 3)

y = a(x - p)(x - q) heeft nulpunten x = p en x = q

Methode 3: Met het snijpunt met de y-as.

Nou daar kunnen we kort over zijn: Als de formule is y = ax² + bx + c dan vind je het snijpunt met de y-as door x = 0 in te vullen, en dat geeft y = a·0² + b·0 + c = c
Het snijpunt met de y-as is dus het punt (0, c)

Dus zodra je weet dat een parabool bijvoorbeeld door het punt (0, 8) gaat dan weet je ook al dat formule gelijk moet zijn aan y = ax² + bx + 8

Nou die a en die b nog......
Om die te vinden moet je twee andere punten van de parabool invullen
Stel bijvoorbeeld dat de parabool ook door (-1, 7) en (2, 22) gaat.
Als je die invult dan krijg je twee vergelijkingen:

7 = a · (-1)² + b · -1 + 8 ofwel 7 = a - b + 8
22 = a · (2)² + b ·2 + 8 ofwel 22 = 4a + 2b + 8

Nou daar staat een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden. We hebben in deze les (eliminatie) en in deze les (substitutie) al geleerd hoe je dat op kunt lossen.
Laten we substitutie gebruiken.
Van de eerste vergelijking kun je maken a = b - 1
Vul dat in in de tweede: 22 = 4(b - 1) + 2b + 8
22 = 4b - 4 + 2b + 8
18 = 6b
b = 3
Dan is a = 3 - 1 = 2
De gezochte formule is dus y = 2x² + 3x + 8

Overzicht.

We hebben nu drie manieren om een formule van een parabool op te stellen behandeld. Hieronder staan ze nog eens alle drie met hun eigenschappen erbij.

paraboolformule.	eigenschappen.
y = ax² + bx + c	snijpunt y-as is (0, c)
y = a(x - p)² + q	top is (p, q)
y = a(x - p)(x - q)	nulpunten zijn x = p en x = q

OPGAVEN.

Geef formules van de volgende parabolen. De schaalverdeling is steeds 1 eenheid per hokje.

De Golden Gate Bridge is een hangbrug over de opening van de Baai van San Francisco in de Stille Oceaan. Zie de foto.

De zware hangende ketting tussen de middelste twee pilaren is bij benadering een deel van een parabool.
We plaatsen de parabool in een assenstelsel zodanig dat het hoogste punt van de linkerpilaar zich in de oorsprong bevindt. Zie de figuur.

Verder is de horizontale afstand tussen beginpunt en eindpunt van de boog 1280 m en bevindt de top van de onderste boog zich 180 m onder de x-as.

De parabool is te beschrijven met een formule van de vorm y = ax² + bx .
Bereken algebraïsch de waarden van a en b. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Een parabool gaat door (-4, 0) en (2, 10) en (5, 0). Geef een formule.

Een parabool gaat door (1, 8) en (0, 10) en (4, -34). Geef een formule.

Een parabool met top (-3, 4) gaat ook door (5.36). Geef een formule.