somregel kansen


Samengestelde problemen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Soms kun je een resultaat op meerdere verschillende manieren bereiken.
Als die manieren echt verschillend zijn, dan kun je het totaal aantal manieren gemakkelijk berekenen: tel gewoon alle afzonderlijke mogelijkheden bij elkaar op. Kijk maar:

Voorbeeld.
Stel dat ik de beschikking heb over een groep van 10 jongens en 12 meisjes en ik moet daar een jongens- of een meisjesvolleybalteam uit kiezen.
Als het een jongensteam moet worden zijn er 10 nCr 6 = 210 manieren
Als het een meisjesteam moet worden zijn er 12 nCr 6 = 924 manieren.
Als je zelf mag weten welk van beiden je wilt maken (dus als het een jongensteam OF een meisjesteam mag worden), dan zijn er uiteraard 210 + 924 = 1134 manieren.

Voorbeeld.
Als ik met vier dobbelstenen gooi, en het totaal aantal ogen moet gelijk zijn aan 20, dan kan dat op vijf verschillende manieren: ik kan 6-6-6-2 gooien OF 6-6-5-3 OF 6-6-4-4 OF 6-5-5-4 OF 5-5-5-5.
6-6-6-2 kan op 4 manieren.
6-6-5-3 kan op 4 · 3 = 12 manieren.
6-6-4-4 kan op 4 nCr 2 = 6 manieren.
6-5-5-4 kan op 4 · 3 = 12 manieren.
5-5-5-5 kan op 1 manier.
In totaal zijn er dus 4 + 12 + 6 + 12 + 1 = 35 manieren om 20 ogen te gooien.

Waar komt het op neer: let op het woordje OF hierboven:

(aantal manieren voor A OF B) = (aantal manieren voor A) + (aantal manieren voor B)

Net zoals we al eerder een geheugensteun voor het tegelijk voorkomen van dingen maakten (weet je nog? EN = × ), kunnen we nu ook een regel voor het naast elkaar voorkomen van dingen daaraan toevoegen:

"EN" = "×"
"OF" = "+"

PAS OP VOOR DUBBELEN!!!

Je moet er daarbij wel goed voor uitkijken dat de mogelijkheden A en B niet overlappen!

Neem het volgende simpele probleem:
Gooi met twee dobbelstenen. Op hoeveel manieren kan het totaal aantal ogen even zijn OF meer dan 7?
Totaal even is (1,1)(1,3)(1,5)(2,2)(2,4)(2,6)(3,1)(3,3)(3,5)(4,2)(4,4)(4,6)(5,1)(5,3)(5,5)(6,2)(6,4)(6,6) is 18 manieren.
Totaal meer dan 7 is (2,6)(3,5)(3,6)(4,4)(4,5)(4,6)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6) is 15 manieren.
Toch zijn er in totaal geen 18 + 15 = 33 manieren!!!!
Dat komt natuurlijk omdat je een aantal manieren nu dubbel hebt meegeteld.
(2,6)(3,5)(4,4)(4,6)(5,3)(5,5)(6,2)(6,4)(6,6) staan in beide rijtjes en zijn dus dubbel meegeteld.
Dat zijn 9 dubbelen, dus het werkelijke aantal manieren is 33 - 9 = 24.
Dat kun je natuurlijk ook (misschien wel makkelijker) zien door een roosterdiagram te maken:

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Als je het aantal manieren voor A noteert als n(A), dan geldt dus bij overlapping:

n(A OF B) = n(A) + n(B) - n(A EN B)

OPGAVEN

Hieronder staan twee plaatsen (Oost en West) die door een aantal wegen met elkaar zijn verbonden.

Hoeveel verschillende manieren zijn er om van S naar F te gaan, waarbij je de pijlen moet volgen?

14 manieren

Een fruitautomaat heeft drie vensters naast elkaar waarachter drie banden onafhankelijk van elkaar kunnen draaien.
Op elke band staan 10 fruitplaatjes. Zie voor de aantallen de tabel hieronder en de figuur hiernaast.

	band 1	band 2	band 3
kersen	3	2	2
sinaasappel	2	4	2
peer	2	2	2
druiven	3	2	4

De automaat wordt in werking gezet, en als hij stopt staat er van elke band willekeurig één plaatje achter het venster.

Op hoeveel manieren kunnen drie sinaasappels verschijnen?

16 manieren

Op hoeveel manieren kunnen twee druiven en een peer verschijnen?

52 manieren

Op hoeveel manieren kunnen drie dezelfde plaatjes verschijnen?

60 manieren

Oma heeft drie snoeptrommeltjes staan, en kleine Karel mag uit elk trommeltje één snoepje halen. Hij doet dat willekeurig.
Trommel I bevat 3 kokindjes, 4 zuurtjes en 2 gummibeertjes. Trommel II bevat 4 kokindjes, 3 zuurtjes en 4 gummibeertjes en trommel III bevat 6 kokindjes, 2 zuurtjes en 3 gummibeertjes

Op hoeveel verschillende manieren kan Karel eerst een zuurtje, dan een gummibeertje en dan een dropje pakken?

96 manieren

Op hoeveel verschillende manieren kan Karel in totaal precies 2 zuurtjes pakken?

202 manieren

examenvraagstuk HAVO, Wiskunde B, 2003.

Bij het beoordelen of een patiënt in aanmerking komt voor het medicijn Rustical gebruiken artsen twee lijsten met elk negen gedragskenmerken: een lijst met negen algemene kenmerken en een lijst met negen bijzondere kenmerken. In de volgende tabel zie je enkele voorbeelden hiervan.

Algemene gedragskenmerken	Bijzondere gedragskenmerken
1: heeft regelmatig dagen met ups en downs	1: beweegt plotseling met (delen van) zijn lichaam
2: heeft vaak moeite zich te concentreren	2: spreekt vaak overdreven snel
3: ...........	3: ...........
4: ...........	4: ...........
5: ...........	5: ...........
6: ...........	6: ...........
7: ...........	7: ...........
8: ...........	8: ...........
9: ...........	9: ...........

Het middel Rustical wordt voorgeschreven als een persoon in elk van de twee lijsten aan minstens zes gedragskenmerken voldoet. Niet bij elke persoon met in totaal 13 gedragskenmerken (bijvoorbeeld 8 in de eerste lijst en 5 in de tweede lijst) wordt dus het middel Rustical voorgeschreven.
Toon aan dat er meer dan 6000 mogelijke combinaties van 13 gedragskenmerken zijn waarbij de diagnose wel leidt tot het voorschrijven van Rustical.

Ik heb drie vreemde dobbelstenen. Ze zijn wel gewoon kubusvormig, maar er staan rare symbolen op.
Hieronder zie je een bouwplaat van deze drie dobbelstenen.

Ik gooi deze drie dobbelstenen tegelijk op tafel.

Op hoeveel manieren kunnen drie cirkels verschijnen?

6 manieren

Op hoeveel manieren kun je met alle drie de dobbelstenen hetzelfde plaatje gooien?

12 manieren

Op hoeveel manieren kun je één driehoek en twee vierkanten te zien krijgen?

7 manieren

Een middelbare schoolklas bestaat uit 12 jongens en 16 meisjes.
Er wordt een feestcommissie van 7 leerlingen uit gekozen.

Op hoeveel manieren kan dat?

1184040

In hoeveel mogelijke feestcommissies zitten minstens 5 meisjes?

395824

In hoeveel mogelijke feestcommissies is het verschil tussen het aantal meisjes en het aantal jongens niet meer dan 1?

677600

In een restaurant mogen de klanten hun nagerecht zelf samenstellen. Ze kunnen daarbij kiezen uit een combinatie van ijs, vruchten, saus en versiering. In de volgende tabel staan alle keuzemogelijkheden.

ijssmaak	vruchten	saus	versiering
vanille banaan aardbei pistache citroen mokka	ananas mango banaan kers	chocolade aardbei citroenlikeur	discodip chocoladevlokken hazelnoot slagroom

Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er met uit elke categorie precies één soort?

288

Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er met uit elke categorie precies twee soorten?

1620

Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er met minstens vier soorten ijs en minstens 3 soorten vruchten en geen saus en geen versiering?

110