formule van Euler


De formule van Euler.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

We hebben intussen al allerlei bewerkingen met complexe getallen bekeken.
• Optellen en aftrekken (kop-aan-staart).
• Vermenigvuldigen en delen (draaivermenigvuldigen).
• Machtsverheffen (regel van de Moivre).

Welke moeten nog?
• Exponenten met i in de macht.
• Logaritmen.
• Sinus en Cosinus.

En het leuke is, dat deze drie nauw met elkaar verbonden zijn! Van logaritmen en exponenten had je dat natuurlijk wel verwacht, want die zijn elkaars inverse. Maar ook goniometrische functies (sinus en cosinus) hebben heel veel te maken met exponentiële (terwijl dat bij de reële getallen helmaal niet zo was).

Nieuwsgierig geworden?

Mooi. Laten we de ontdekkingsreis maar beginnen...

Exponenten.

Wat gebeurt er als er in de macht een complex getal hangt?

Neem als voorbeeld 2^z = 2^{a +
ib} .
Omdat weer alle "gewone" regels voor het rekenen met machten moeten blijven gelden, is 2^{a+ ib} = 2^a • 2^ib .
Dat eerste deel 2^a daar is niets mee aan de hand: gewoon twee reële getallen.
Het probleem is:

Wat is 2^ib ???

2^ib zal ook wel een complex getal zijn. Stel daarom 2^ib= x + iy Wat valt er dan van de x en y te zeggen?
Een aanwijzing kunnen we krijgen door i de vervangen door -i.
Als 2^ib = x + iy dan is 2^-ib = x + -iy = x - iy.
Het mooie komt als we die twee met elkaar vermenigvuldigen: 2^ib • 2^-ib = (x + iy) • (x - iy) = x² + y²
Maar volgens oude regels is 2^ib • 2^-ib = 2^{ib - ib} = 2⁰ = 1, dus moet ook gelden dat x² + y² = 1
Conclusie:

• als 2^ib = x + iy dan is x² + y² = 1
• dus het getal 2^ib ligt op de eenheidscirkel

Dat betekent dat 2^ib met poolcoördinaten te schrijven is als cosφ + i • sinφ

Maar wat is het verband tussen b en φ?

Een aanwijzing krijg je als je 2^ib en cosφ + i • sinφ als functies ziet, en er de afgeleide van opschrijft:
De afgeleide van 2^ib is i • 2^ib • ln2 = i ln2 • 2^ib
De afgeleide van cosφ + i • sinφ is   -sinφ + i • cosφ = i • (isinφ + cosφ) = i • (cosφ + i • sinφ)

Daar staat bijna twee keer hetzelfde! Er staat steeds "afgeleide = i • functie zelf". Alleen die vervelende ln2 bederft de boel een beetje... Als we die nou weg zouden kunnen werken.....
Maar wacht eens even...dat kan natuurlijk, door niet 2 als grondtal te kiezen (die was immers tóch willekeurig) maar e. Dan verdwijnt die ln2-factor, immers lne = 1.

Bekijk daarom de functies f(z) = cosz + i • sinz en   g(z) = e^iz
Daar weten we nu het volgende van:

• eigenschap 1:    f(0) = g(0)
• eigenschap 2:    f '(z) = i • f(z) en   g'(z) = i • g(z)

Laten we de grafieken van f(z) en g(z) in gedachten gaan tekenen. Stap voor stap:

We beginnen bij beiden in het punt (0,0).

Maar eigenschap 2 zegt, dat als de functies gelijk zijn, dat dan ook hun afgeleides gelijk zijn. Dus in (0,0) hebben deze functies ook dezelfde afgeleide.

De afgeleide zegt hoe een functie verandert. Het was ooit immers de helling van een punt naar een punt vlak ernaast? Dus als de functies door hetzelfde punt gaan, én dezelfde helling hebben, dan zal dat ook het zelfde "punt vlak ernaast" opleveren.

De grafieken begonnen beiden in (0,0) en gaan dus beiden door hetzelfde punt vlak ernaast.
In dat tweede punt zijn de functies gelijk, dus hun hellingen (eigenschap 2) óók weer.
Maar dat betekent dat de stap naar het volgende punt vlak daarnaast ook hetzelfde zal zijn.
Dus het volgende punt is ook gelijk......

En zo gaat dat alsmaar door. Omdat de functiewaarden in een punt gelijk zijn, zijn de hellingen dat ook, dus komen in hetzelfde punt vlak ernaast. De enige mogelijke conclusie is dat de grafieken precies gelijk zijn.

eⁱ^φ = cosφ + i • sinφ

Deze formule heet de "formule van Euler" en is een erg belangrijke formule. Het geeft ons de mogelijkheid om complexe machten te berekenen. Bedenk dat de φ uit de formule een gewoon reëel getal is! Verder geeft de formule ook een verband tussen goniometrische formules en exponentiële. In het complexe vlak ontmoeten de werelden van de goniometrie en de exponenten elkaar!

(Deze "afleiding" van deze formule was wiskundig niet supernetjes en verantwoord. Zo'n punt vlak ernaast is bijvoorbeeld op een getallenlijn makkelijk, maar hoe is dat in een vlak? Wat stelt de complexe afgeleide eigenlijk precies voor? En bestaat die afgeleide overal wel? Een preciezere, maar ook moeilijker, afleiding zou hier te ver voeren. Een iets mooier bewijs staat hiernaast, maar daarvoor moet je wel weten wat een Taylorreeks is).

Deze nieuwe formule geeft nu een derde manier om een complex getal te noteren:

complex getal:
•	z = x + iy
•	z = r • (cosφ + i • sinφ)
•	z = r • eⁱ^φ

De mooiste formule ter wereld...

Een speciaal geval voor de formule van Euler krijg je als je φ = π neemt.
Dan staat er eⁱ^π = cosπ + i • sinπ = -1 + i • 0 = -1 en daaruit volgt:

eⁱ^• ^π + 1 = 0

Een enquête door het wiskundetijdschrift "Mathematical Intelliger" wees uit dat dit met afstand de mooiste formule ooit werd gevonden. Bij een enquête in "Physics World" kwam deze formule op een gedeelde eerste plaats, dus ook natuurkundigen vinden het een geweldige formule!

Waaróm is dit zo'n geweldige formule?

Vooral vanwege zijn eenvoud.
Er komen de vijf belangrijkste wiskundige constanten in voor (0, 1, π, e en i)
Er komen de drie belangrijkste bewerkingen in voor (optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen).
Verder alleen nog een = teken en dat is alles!

PRACHTIG!


machtsfuncties			logaritmen

Schrijf de volgende getallen in de vorm r • eⁱ^φ. Rond r en φ af op twee decimalen.

8 + 2i

8,25 • e^0,24i

-1 - i

1,41 • e^3,93i

-2

2 • e^πⁱ

12i

12 • e^0,5πi

Schrijf de volgende getallen in de vorm a + bi. Rond a en b indien nodig af op twee decimalen.

2 • e³ⁱ

-1,98 + 0,28i

-4 • e^0,5pi

-4i

6 • e²ⁱ - e⁵ⁱ

-2,78 + 6,41i

e^-pi • e^0,25pi

-¹/₂√2 + i• ¹/₂√2

5i + 3 • e^-2i

-1,25 + 2,27i

(3e^-2i)²

-5,88 + 6,81i

Schrijf de volgende getallen in de vorm r • eⁱ^φ. Rond r en φ indien nodig af op twee decimalen.
Geef voor φ een hoek tussen 0 en 2π.

(3 + 4i)⁸

390625 • e^7,41i

√(5 + 4i)

√41 • e^0,34i

(-1 + i)¹⁰

32 • e^1,5π

1,35 • e^-0,09i

0,02 • e^3,59i

0,51 • e^-0,61i

(¹/₂ + ¹/₂i√3)⁵⁰

1 • e^{2/3
•π}

(1 - 0,5i)²⁰ • (-1 + 2i)¹⁰

29103,83 • e^-1,49ⁱ

Je kunt e^2ixschrijven als cos2x + i • sin2x
Maar je kunt e^2ix ook schrijven als (e^ix)² dus als (cosx + i • sinx)²
Door deze twee aan elkaar gelijk te stellen en dan de haakjes weg te werken kun je formules voor cos2x en sin2x afleiden.

Geef die afleiding.

Geef formules voor sin(3x) en cos(3x).

Op deze manier kun je ook formules afleiden voor cos(a + b) en sin(a + b).
Geef zo'n afleiding.

Formules voor cosⁿx.....
Stel z = eⁱ^φ^.

Toon aan dat dan geldt z + ¹/_z = z + z^-1 = 2cosφ.

Je kunt nu (z + ¹/_z)³ in één keer schrijven als 8cos³φ maar ook door (z + ¹/_z)³ gewoon uit te schrijven.

Toon aan dat dit laatste vereenvoudigt tot (z + ¹/_z)³ = 2cos3φ + 6cosφ.

Toon aan dat cos³x = ¹/₄cos(3x) + ³/₄cos(x).

Maak op deze manier een formule voor cos⁴x, uitgedrukt in andere cosinussen.

Met de formule van Euler: e^iφ= cosφ + isinφ kun je op een eenvoudige manier (veel eenvoudiger dan voorheen) een bewijs voor de regel van de Moivre geven. Dat was de regel dat je bij vermenigvuldigen van twee complexe getallen de afstanden tot O moest vermenigvuldigen en de argumenten moest optellen, weet je nog?

Geef zo'n bewijs.

Stel dat je de waarde van z² + 3z - 1 overal op de eenheidscirkel zou gaan uitrekenen, dan krijg je allemaal complexe getallen. We zijn erin geïnteresseerd welk van die getallen de grootste modulus (afstand tot de oorsprong) heeft.

Voor z op de eenheidscirkel geldt z = e^iφ
Schrijf z² + 3z - 1 als functie van φ.
Schrijf ook de geconjugeerde daarvan op.

Bereken nu | z²+ 3z - 1 |²

Toon aan dat | z²+ 3z - 1 |² = 11 - 2cos(2φ)
Bereken daarmee wat het maximum van | z²+ 3z - 1 | is en voor welke z dat wordt bereikt.