gebroken machten


Gebroken Machten.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Dit is ons al bekend: 5² = 5 • 5 en 5³ = 5 • 5 • 5 en 5⁴ = 5 • 5 • 5 • 5
En zo gaat dat maar door. Het getal in de lucht (de exponent) zegt hoeveel stuks je van het getal op de grond achter elkaar moet schrijven. Makkie. Geen vuiltje aan de lucht.....

Maar nu het probleem van vandaag:

Als die exponent nou een breuk is?????

Neem bijvoorbeeld 5^1/2. Wat stelt dat voor? Moet je dan een halve vijf opschrijven of zo?
Het antwoord komt als je dit "vreemde" getal met zichzelf gaat vermenigvuldigen: 5^1/2 • 5^1/2
Uit het rekenen met machten weten we al dat g^a • g^b = g^{a + b} en als we dat hierop loslaten dan vinden we iets wonderbaarlijks: 5^1/2 • 5^1/2 = 5^{1/2 + 1/2} = 5¹ = 5
Kortom: 5^1/2 is het getal dat, als je het met zichzelf vermenigvuldigt, 5 oplevert.

Maar dat getal kennen we al!! Dat is √5:

g^1/2 = √g

En precies hetzelfde geldt voor andere breuken:

Het nog algemenere geval.

Een voorbeeld zal een boel verduidelijken: neem g^3/4 , dan geldt:

Daarbij hebben we de regel (g^a )^b = g^ab en de zojuist ontdekte formule voor g^1/n gebruikt.
Conclusie:

WAARSCHUWING!

Kijk uit met breuken als macht. Ze zijn erg verraderlijk.
Neem bijvoorbeeld een onschuldig ogende macht: g^3/4 waarvan we intussen weten dat dat gelijk is aan de vierdemachtswortel van g³.
Maar als die g een negatief getal is, dan is g³ ook negatief en dan bestaat die vierdemachtswortel niet, want een getal tot de vierde kan nooit negatief worden. De enige mogelijke conclusie is, dat g^3/4 niet bestaat voor negatieve g

Maar bekijk nu eens g^6/8 .
Dat is gelijk aan de "achtstemachtswortel" van g⁶. En als g negatief is, dan bestaat die wél, immers g⁶ is dan positief.

Zijn die wiskundigen nou helemaal GEK geworden?

⁶/₈ is toch precies hetzelfde als ³/₄?
Hoe kan het dan dat voor negatieve x-waarden g^3/4 niet bestaat maar g^6/8wél?
Het moet ook niet veel gekker worden......!!!!

Er is maar één oplossing:
Om ons wiskunde-bouwwerk consistent te houden spreken we af:

Je moet de exponent van gebroken machten eerst vereenvoudigen

Schrijf als één macht van x:

√x • x²

x^2,5

¹/_√_x

x^-0,5

x^-0,4

^√^x/_x

x^-0,5

√(x⁷)

x^3,5

x^2/3

x⁴√x

x^4,5

x^5/3

x^-0,25

(√x)⁵ • x²

x^4,5

x^1,5

x⁰= 1

Bereken, indien mogelijk, in twee cijfers achter de komma:

(-3)^2/3

2,08

(-2)^2/8

geen

(0,5)^-0,5

1,41

(-6)^3/4

geen

(-4)^-2/3

0,40

(-3)^4/6

2,08

Decimale machten

De regel om vergelijkingen met machten op te lossen was:

xⁿ = p ⇒ x = p^1/ⁿ

Daarbij moest je er bij even n op letten dat er soms twee oplossingen waren (als p > 0) en soms géén (als p < 0).

Neem nu de vergelijking x^1,2 = 3.

Bovenstaande regel zou hier geven x = 3^1/1,2 » 2,498. En het is natuurlijk niet zo dat 1,2 een even of oneven getal is.
Maar als we 1,2 niet als decimaal getal maar als breuk zouden schrijven , dan staat er;

Dat zou geven x⁶ = 3⁵ = 243 en dat zou nu wél twee oplossingen geven, namelijk x = 243^1/6 ≈ 2,498 én x = -243^1/6 ≈ -2,498

afspraak:

Je hoeft je bij decimale machten niet druk te maken over een tweede oplossing..

da's mooi toch.......?

OPGAVEN

Met de formule van Dubois kun je bij een gegeven lichaamsgewicht (G) en lengte (L) het huidoppervlak (H) berekenen. De formule luidt:

H = 0,0072 • G^0,425 • L^0,725

Met H in m² en G in kg en L in cm.

Bereken het huidoppervlak van een mens van 80 kg en 1.86 m lang.

2,049 m²

Een vrouw van 60 kg heeft een huidoppervlak van 1,5 m² . Bereken algebraïsch haar lengte.

1.43 m

Een man van 120 kg is aan het afvallen. Hij blijft daarbij (uiteraard) even lang, en dat is 1,98 m.
Hij berekent dat hij 0,5 m² overtollig huidoppervlak kan laten weghalen
Hoeveel is hij dan afgevallen?

48,3 kg

Voor planeten in een baan om hun zon en ook voor manen in een baan om een planeet geldt de derde wet van Kepler. Die zegt dat ^T²/_R³ een constante is. Waarbij T de omlooptijd is en R de straal van de baan.
Isaac Newton voegde later een term toe die afhangt van de massa van de planeet. Deze wet werd door Kepler pas tien jaar na zijn andere twee wetten gepubliceerd. Om precies te zijn geldt dat:

waarin M de massa van de planeet/ster waar het lichaam omheen draait is, en G de universele gravitatieconstante (6,67 × 10^-11 m³s^-2kg^-1) In dit geval wordt T in seconden gegeven en R in meters en M in kg.

De planeet Mars heeft een omloopstijd van 686 dagen, 23 uur, 30 min en 41 sec.
De massa van onze zon is ongeveer 2 • 10³⁰ kg.
Bereken de straal van de baan van Mars om de zon.

2,3 • 10⁸km

De straal van de baan van de maan om onze aarde is 384450 km en de omlooptijd is 27,3217 dagen.
Bereken de massa van de aarde.

6,03 • 10²⁴ kg

De planeet Jupiter heeft een afstand tot de zon van 778 • 10⁶ km
De massa van onze zon is ongeveer 2 • 10³⁰ kg.
Bereken de omlooptijd van Jupiter. Geef je antwoord in jaren nauwkeurig.

12 jaar

De bioloog Meeh vond voor de huidoppervlakte (H) van verschillende diersoorten de volgende formule (met H in dm² en het gewicht G in kg):

H = c · G^2/3

De constante c heet de Meeh-coëfficiënt en is voor elke diersoort verschillend. Hieronder zie je een tabel met voor een aantal diersoorten die Meeh-coëfficiënt:

egel	7,5
muis	9,0
mens	11,2
vleermuis	57,5

Bereken algebraïsch de huidoppervlakte van een vleermuis die 6 gram weegt.

1,898 dm²

Bereken algebraïsch het gewicht van een egel met een huidoppervlakte van 0,38 m² .

11,4 kg

Voor een bol geldt inhoud = ⁴/₃πr³ en oppervlak = 4πr² .
Bereken de Meeh-coëfficiënt voor een bol die 1kg/liter weegt.

4,8

Als het gewicht van een dier verdubbelt, hoeveel procent neemt zijn huidoppervlakte dan toe?

58,7%

De levensduur t (in jaren) van een diersoort in gevangenschap blijkt ongeveer afhankelijk te zijn van zijn lichaamsgewicht (G in kilogram).
Voor zoogdieren geldt de formule t = 11,8 • G^0,20 en voor vogels t = 28,3 • G^0,19

Bereken algebraïsch de levensduur van een olifant (gewicht ongeveer 4000 kg).

62 jaar

Een struisvogel kan in gevangenschap zo'n 70 jaar oud worden. Bereken zijn lichaamsgewicht.

117,5 kg

Ook de hartslagfrequentie van een diersoort blijkt af te hangen van zijn lichaamsgewicht.
Er geldt H = 241 • G^-0,25 met H in slagen per minuut.

Bereken hoeveel hartslagen de olifant en de struisvogel uit de vragen a en b in hun hele leven maken.
Rond je antwoord af op miljoenen.

987en 2693

Een psychologe doet onderzoek naar de snelheid waarmee kinderen woordjes leren. Zij laat een groep kinderen elke dag een half uur dezelfde woordjes leren, en test na elke dag hoeveel woordjes de leerlingen gemiddeld kennen. Dat geeft de volgende tabel:

dag (d)	0	1	2	3	4	5	6	7
gem. woordkennis (W)	0	18,5	29,6	39,0	47,5	55,3	62,6	69,5

De psychologe gaat uit van een verband W = a • d^b

Leg uit hoe je direct kunt zien dat dan a gelijk moet zijn aan 18,5

De psychologe vindt aan de hand van bovenstaande tabel dat b = 0,68.

Leg met een berekening uit hoe je dat getal zelf zou kunnen vinden.

Na hoeveel dagen zal W gelijk zijn aan 150? Geef een algebraïsche berekening.

22 dagen

De diameter (D in meter) van een boom (gemeten op 1,5 meter vanaf de grond) is een aanwijzing voor de hoogte (H in meter) ervan. Er blijkt te gelden: H = 20,6 • D^0,535

Bereken de diameter van een boom die 6 meter hoog is. Geef een algebraïsche berekening.

10 cm

Je kunt de formule ook schrijven als D = a • H^b

Bereken de constanten a en b in vier decimalen nauwkeurig.

0,0035 en 1,8692

11^2/3

10.

Als 49^x + 49^-x = 7, dan is 7^x + 7^-x = .....

a. 1 b. √5 c. 3 d. √7 e. 9

c. 3

11.

Welke is de grootste? Geef een algebraïsche berekening.