© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Groeifactoren bij andere tijdseenheden.
Eigenlijk moet je eerst nog een keer de les over gebroken machten lezen....
Laten we gaan proberen een formule te maken bij onderstaande tabel.
x 5 8 11 14
y 47,19 193,27 791,65 3242,59
et lijkt erop dat deze tabel een exponentiële functie beschrijft, want de factoren zijn achtereenvolgens: 
193,27/47,19 = 4,096 en  791,65/193,27 = 4,096 en  3242,59/791,65 = 4,096  en die zijn allemaal gelijk.
Toch is 4,096 niet de groeifactor g die bij deze tabel hoort!

Waarom dan niet?

Dat komt omdat de x-waarden niet stapjes van één nemen, maar stapjes van drie. En de groeifactor g is het getal waarmee je y vermenigvuldigt als x één toeneemt. Hoe vinden we de g voor een stapje van één?
Nou simpel, denk de rest van de tabel erbij:
x 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
y 47,19 .... .... 193,27 .... .... 791,65 .... .... 3242,59
Omdat deze tabel stapjes van één neemt, zijn de getallen waarmee de y-waarden worden vermenigvuldigd wél gelijk aan de groeifactor g. Kijk bijvoorbeeld tussen x  = 5 en x = 8 hiernaast.
Daarin zie je dat  ×g   ×g   ×g   precies hetzelfde moet zijn als  ×4,096
Dat betekent dat  g3  = 4,096
Ofwel:

omdat stapjes van 3 zijn genomen vinden we g3
Hoe maken we daar g van?
Da's makkelijk. Bedenk dat geldt  (ga)b = gab 
Dus als we g3 tot de macht 1/3 doen, dan blijft er g over, kijk maar:  (g3)1/3 = g3 • 1/3 = g1 = g
Daarom doen we beide kanten van de vergelijking g3 = 4,096 tot de macht 1/3.
Dat geeft dan  g = 1,0461/3 = 1,6.
1. Geef de groeifactor bij de volgende tabellen:
x 10 15 20 25 30
y 12,84 4,22 1,38 0,45 0,147
x 4 11 18 25 32
y 2,43 3,42 4,81 6,77 9,53
x 6,0 8,5 11,0 13,5 16,0
y 6,77 5,34 4,21 3,31 2,61
x 2,5 3,9 5,3 6,7 8,1
y 19,21 16,58 14,30 12,34 10,65
0.8, 1.05, 0.91, 0.9
 
Een toepassing is het berekenen van groeifactoren bij andere tijdseenheden. Het belangrijkste voorbeeld is:
Een bank geeft  9% rente per jaar. Hoeveel rente per maand is dat?
DE FOUTE OPLOSSING:
omdat een jaar 12 maanden heeft komt dat neer op 9/12 = 0,75% per maand.

DE GOEDE OPLOSSING
in een heel jaar wordt ons bedrag vermenigvuldigd met 1,09 (de groeifactor per jaar is 1,09).
stel dat de groeifactor per maand gelijk is aan g, dan heeft twaalf keer met g vermenigvuldigen dus het zelfde effect als met 1,09 vermenigvuldigen. Dus  g • g • g • g • g • g • g • g • g • g • g • g = 1,09
Dus  g12 = 1,09. Neem nu beide kanten tot de macht  1/12:  g = 1,091/12 = 1,0072
De rente per maand is dus  0,72%
2. Met hoeveel rente per jaar komt 0,75% per maand wél overeen?
9,38%
3. Geef de groeifactor in de volgende gevallen.
a. De groeifactor per dag is  4,3. Hoe groot is de groeifactor per uur?
1,062
b. De groeifactor per minuut is 1,03. Hoe groot is de groeifactor per uur?
5,892
c. De groeifactor per week is 8. Met hoeveel procent neemt het per dag toe?
34,59%
d. Iets neemt af met 5,4% per uur. Wat is de groeifactor per dag?
0,2639
e. Iets neemt toe met 12% per week, hoe groot is de groeifactor per dag?
1,016
f. Iets verdubbelt elke week. Hoeveel procent toename is dat per uur?
0,413%
4. Ik heb een bedrag van €80000,- dat ik op de bank ga zetten. De bankmanager biedt mij 10% rente per jaar aan.
Hij ziet er echter niet al te slim uit.......
Ik zeg daarom:  "Ik heb de rente liever per half jaar, dus dat wordt dan 5%". Hij gaat akkoord!
a. Hoeveel geld heb ik daarmee het eerste jaar meer dan bij 10% per jaar?
€200,-
Ik besluit nu door te gaan.
"Wacht even... ik heb toch liever 2,5%  rente per kwart jaar..."
"Of nee, doet u maar  1,25% rente per achtste jaar.....''
"Of nee  ......"
b. Stel dat ik alsmaar zo doorredeneer en dat de man steeds maar akkoord blijft gaan. Hoeveel geld zal ik dan maximaal na een jaar kunnen hebben? Geef je antwoord in eurocenten nauwkeurig.
 
€88413,67
5. Ik ga naar een bank waar de manager me vertelt dat ze mij een rente van 0,5% kunnen bieden.
Dat vind ik niet zoveel, maar als de man me voorrekent dat een kapitaal van €4000 dan in 5 jaar uit kan groeien tot €7649,76 dan besef ik dat die rente vaker dan eens per jaar wordt bijgeschreven.

Om de hoeveel tijd wordt de rente bij deze bank bijgeschreven?
 

2 weken
   
6. Een artikel is nu al vier maanden achter elkaar met hetzelfde percentage in prijs verlaagd. Na drie maanden was er al 51% van de oorspronkelijke prijs afgegaan.
Hoeveel is er na 4 maanden van de oorspronkelijke prijs afgegaan?
 

61,4%
   
7.

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2007

Wanneer de hoogte toeneemt, neemt de luchtdruk af. Deze afname van de luchtdruk verloopt exponentieel. De luchtdruk kan worden gemeten in mm Hg (Hg staat voor kwik).

Op een gegeven moment is op een bepaalde plaats de luchtdruk op zeeniveau (hoogte = 0) gelijk aan 760 mm Hg en op één kilometer hoogte is deze gelijk aan 648 mm Hg. Volgens het exponentiële model is de luchtdruk op 100 meter hoogte vrijwel gelijk aan 748 mm Hg.
   
  a. Toon dit door middel van een berekening aan.
       
  Een andere eenheid om de luchtdruk te meten is hectopascal (hPa).
Er geldt bij benadering dat 1 mm Hg = 4/3 hPa. Voor kleine hoogtes, tot ongeveer 100 meter, gebruikt men de volgende vuistregel:
De daling van de luchtdruk bedraagt 1 hPa per 8 meter toename van de hoogte.
       
  b. Bereken in bovengenoemde situatie het verschil tussen de luchtdruk op 100 meter hoogte, berekend volgens de vuistregel, en de waarde volgens het exponentiële model in mm Hg.
     

2,6 mm Hg
       
8. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2003.

In Nederland starten elk jaar ongeveer 50000 bedrijven. Sommige van deze startende bedrijven verdwijnen weer snel, anderen overleven langere tijd. De Kamers van Koophandel houden de gegevens hierover nauwkeurig bij. Op basis hiervan is in de figuur hieronder weergegeven hoeveel procent van deze bedrijven na een aantal jaren verdwenen is.
       
 

       
  We maken een wiskundig model. In dit model gaan we ervan uit dat elk bedrijf elk jaar dezelfde vaste overlevingskans heeft. Uit de figuur hierboven kun je afleiden dat een startend bedrijf 40% kans heeft om de eerste 9 jaar te overleven. Op grond hiervan kan de jaarlijkse vaste overlevingskans van startende bedrijven worden berekend.
       
  a. Bereken deze jaarlijkse overlevingskans in vier decimalen nauwkeurig.
     

0,9032
  In de volgende vraag gaan we uit van een jaarlijkse overlevingskans van 0,9.
       
  b. Bereken de kans dat een startend bedrijf na vier jaar nog bestaat en onderzoek of deze uitkomst in overeenstemming is met de gegevens van de figuur hierboven.
     

ongeveer 66%
       
9. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2010.

China ontwikkelt zich in hoog tempo tot grootmacht, ook op het militaire vlak. Het Pentagon, het Amerikaanse Ministerie van Defensie, houdt de Chinese defensie-uitgaven nauwlettend in de gaten. In onderstaande figuur staan de Chinese defensie-uitgaven volgens China zelf en volgens twee schattingen van het Pentagon, een hoge en een lage. Duidelijk is te zien dat het Pentagon uitgaat van veel hogere defensie-uitgaven dan China opgeeft.
       
 

       
  Volgens het Pentagon namen de defensie-uitgaven in de periode van 2001 tot 2005 exponentieel toe. De hoge schatting steeg van 65 miljard dollar in 2001 tot 93 miljard dollar in 2005.
       
  a. Bereken het jaarlijkse groeipercentage dat het Pentagon als uitgangspunt nam voor de hoge schatting (in deze periode). Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.
     

9,4%
  In 2005 was de lage schatting 65 miljard dollar en de hoge 93 miljard dollar, een verschil van 28 miljard dollar. Voor de jaren na 2005 voorspelde het Pentagon dat de defensie-uitgaven exponentieel zouden blijven toenemen. Voor de lage schatting (in deze periode) ging het Pentagon uit van een jaarlijkse groei van 8,5% en voor de hoge schatting van 9,5%.
       
  b. Bereken in welk jaar het verschil tussen de lage en de hoge schatting voor het eerst meer dan 50 miljard dollar zal zijn.
     

2011
       
10. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2011.

Een manier om morfine toe te dienen is door middel van injecties. De hoeveelheid morfine in het lichaam neemt na de injectie exponentieel af. De injectie wordt na 6 uren herhaald, want na die tijd is de hoeveelheid morfine in het lichaam te gering om nog werkzaam te zijn. De halfwaardetijd van morfine is ongeveer 2,5 uur. Dat betekent dat na 2,5 uur de hoeveelheid morfine in het lichaam is gehalveerd.

Uit deze gegevens volgt dat 6 uur na de injectie de hoeveelheid morfine in het lichaam 19% is van de oorspronkelijke hoeveelheid vlak na de injectie.

Toon dit met een berekening aan.
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)