Inhoud.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De inhoud van een prisma
Een prisma is een lichaam waarvan het bovenvlak en ondervlak evenwijdig zijn, en waarvan bovendien elke horizontale doorsnede dezelfde vorm heeft.
Hiernaast zie je voor een paar prisma's zulke horizontale doorsneden.
De meeste linker figuur is een balk en daarvan is de inhoud bekend:
lengte × breedte × hoogte

Het verschil met de andere prisma's is dat het grondvlak steeds een andere vorm heeft.
Als je lengte × breedte in de balkformule nou ziet als de oppervlakte van het grondvlak, dan staat daar  inhoud = G • h  (G is de oppervlakte van het grondvlak).
Deze formule (I = G • h)  geldt ook voor de andere prisma's:

prisma:  I = G • h

 
Het Principe van Cavalieri:  Hoe zit dat met die hoogte?
Het idee van Cavalieri was eigenlijk heel simpel. Bekijk het stapeltje munten hiernaast. Links is de totale vorm ongeveer die van een cilinder. Rechts zie je chaos. 
En toch weet je dat de inhoud van beide stapeltjes munten gelijk is. Het zijn immers precies dezelfde munten!
Voor deze stapeltjes geldt: de oppervlakte van een willekeurige doorsnede is steeds hetzelfde en ook de totale hoogte is gelijk.
Als je van het rechterstapeltje de hoogte wilt meten dan moet je van de bovenste munt loodrecht naar het grondvlak gaan. 

Conclusie:

I = G • h  en h is de loodrechte afstand tussen bovenvlak en ondervlak

Dat betekent dus zelfs dat h soms buiten de figuur kan liggen.
Hier is als voorbeeld van een aantal prisma's G en h gegeven:

1. Bereken de inhoud van de volgende prisma's:

     
  (De hoeken van het voorvlak van de derde figuur zijn 135º)
   

160
48√7
52 + 48√2
80

     
     
2. Uit een stuk kaas met doorsnede 45 cm en dikte 15 cm wordt een punt gesneden van 15º.
Bereken de inhoud van deze punt kaas in twee decimalen nauwkeurig.

     

994,02
3. Oom Bert kookt erwtensoep in een grote cilindervormige pan met diameter 24 cm.
Hij gebruikt een lepel die 26 cm lang is.
Per ongeluk laat hij de lepel vallen en die zinkt weg in de soep.
Er is helemaal niets meer van de lepel te zien!

Hoeveel liter erwtensoep heeft oom Bert minstens gemaakt? (verwaarloos de inhoud van de lepel)
 

1,44 liter
   
4. Bereken de inhoud van de "huizen" hieronder.

 

480 en 912 en 352,5
       
5. De bak van een kruiwagen heeft de vorm van een cilinder waar een stuk afgesneden is. Het bovenvlak van de oorspronkelijke cilinder had straal 70 cm. Na het afsnijden zijn de afmetingen zoals hiernaast.

Bereken de inhoud van de bak van deze kruiwagen in liters nauwkeurig.

     

231 liter
       
Een tweede soort figuren...
Hieronder staan een heleboel ruimtelijke figuren.
Kun je ze in twee groepen indelen?

NEE?
LUKT DAT NIET?

En als ik het nou voor doe, kun je dan verzinnen waarom ik die figuren heb ingedeeld zoals hieronder?
Ofwel: wat is de gedachte achter deze indeling?????

Waarin verschilt de bovenste rij van de onderste rij?

NEE?.....  NÓG  NIET?....
Leg dan je hand eens boven op deze figuren.
Dan voel je het vanzelf.
Die onderste rij die prikt!!!!!
Alle figuren eindigen in een PUNT omhoog. En dat heeft nogal ernstige gevolgen voor de inhoud ervan. Je ziet natuurlijk meteen dat de inhoud van figuren die in een punt eindigen kleiner is dan de anderen. Maar HOEVEEL KLEINER???

Hieronder zie je dat in een kubus drie piramides te tekenen zijn die die kubus helemaal vullen. Voor de top van de piramide is steeds punt T gekozen; het grondvlak is gekleurd. De drie piramides zijn gelijk.

Het grondvlak is steeds een grensvlak van de kubus, en de hoogte is steeds een ribbe van de kubus. Kennelijk is de inhoud van zo'n piramide precies 1/3 deel van de inhoud van de kubus.
En dat blijkt voor alle figuren die in een punt eindigen te gelden.
Figuren die in een punt eindigen:  I = 1/3 • G • h

 
Hier is een YouTube filmpjewaar je het nog eens gedemonstreerd krijgt:
 

Als je het nog niet gelooft moet je het bewijs hiernaast maar lezen.

6. Bereken de inhoud van de volgende figuren in één decimaal nauwkeurig:

   

75.4,  149.2, 19.5, 41.3

7. Een prisma ABCDEF met zijden zoals hiernaast wordt door vlak ABF in twee delen verdeeld.

Bereken de verhouding tussen de inhouden van die twee delen.

     

2 : 1

8. De kegel hiernaast heeft straal grondvlak 4.
Lijnstuk AT heeft lengte 10. Het stond oorspronkelijk loodrecht op de bodem, maar is langzaamaan scheef gezakt, en maakt daardoor nu een hoek a met de bodem. De lengte ervan is wel 10 gebleven.

Hoe groot moet deze hoek zijn als de inhoud van de kegel gelijk is aan  de helft van de oorspronkelijke inhoud?

   

30º

     
9. In een suikerzakje zit 5 gram suiker. De dichtheid van suiker is  1,6 g/cm3
Hiernaast zie je een aantal fraai gevormde suikerzakjes met daarnaast een modeltekening van deze vorm..
Berken hoeveel procent van de inhoud van zo'n zakje met suiker is gevuld.
   

79,2%

     
10. Van het (scheve) prisma hiernaast is de inhoud 1 liter. Het grondvlak is een gelijkzijdige driehoek met zijden van 8 cm.

     
  a. Laat zien dat de hoogte h van het prisma gelijk is aan 36,1 cm.
     
  b. Een piramide met dezelfde hoogte en inhoud als het prisma heeft een vierkant grondvlak. Bereken de zijde van dat grondvlak.
     

9,1 cm

     

 
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)