koordenvierhoeken


Koordenvierhoeken.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Wattisdattanouweer????

"Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan alle hoekpunten op één cirkel liggen"

De hoeken van een koordenvierhoek hebben een belangrijke eigenschap, zo zullen we ontdekken.

Laten we een cirkel nemen met een koordenvierhoek ABCD erin zoals hiernaast.
Hiernaast zie je dat de rode boog een omtrekshoek ABC heeft en een middelpuntshoek AMC die dubbel zo groot is (beiden rood gekleurd)
Maar de blauwe boog heeft omtrekshoek CDA en middelpuntshoek AMC die ook dubbel zo groot is (beiden blauw gekleurd).

De middelpuntshoeken zijn samen 360º dus zijn de omtrekshoeken samen 180º.
En die omtrekshoeken zijn samen precies de twee overstaande hoeken van de koordenvierhoek.
Op precies dezelfde manier kun je voor de andere twee hoeken van de koordenvierhoek bewijzen dat ook die samen 180º zijn.

Een belangrijk resultaat:

Twee overstaande hoeken van een koordenvierhoek zijn samen 180º

Dat is alwéér een nieuwe regel om de grootte van hoeken in figuren te bepalen.
Dus volgt hier weer een verzameling nieuwe opgaven.

OPGAVEN

Eigenlijk hebben we de stelling van deze les nog niet helemaal precies bewezen.

Zie je al wat er nog aan ontbreekt......?

We hebben in onze figuur het geval bewezen waarbij het middelpunt van de cirkel binnen de koordenvierhoek valt.

Bewijs dat de stelling ook geldt als het middelpunt van de cirkel buiten de koordenvierhoek ligt zoals in de figuur hiernaast.

AE en BD zijn hoogtelijnen van een willekeurige driehoek ABC.

Bewijs dat ∠BAC = ∠CED

In een vierkant ABCD wordt een driehoek APQ getekend zodat hoek PAQ gelijk is aan 45º.
Diagonaal BD snijdt de zijden van deze driehoek in N en M.

Bewijs dat AMQD een koordenvierhoek is.

hint	teken een cirkel door AQ en M, en bewijs dat D er op ligt

hint	gebruik omtrekshoeken van die cirkel.

Construeer alleen met een liniaal de hoogtelijn vanuit A van driehoek APQ.

hint	toon aan dat QM hoogtelijn van APQ is

Olympiadevraagstuk

Van een vierhoek ABCD liggen de punten A, B en C op een cirkel.

De raaklijn in B aan die cirkel maakt met de zijden van de vierhoek hoeken van α en β.
Er blijkt te gelden α + β = 80º

Hoe groot is hoek D als gegeven is dat PQ een kwart cirkelboog is?

35º

The Famous Butterfly-problem.

Door het midden M van koorde AB van een cirkel worden twee willekeurige koorden CD en EF getrokken.
Bewijs dat deze koorden gelijke stukken XM en YM van AB afsnijden.

Doe dat in de volgende 5 etappes:

Bewijs dat MO (O is het middelpunt van de cirkel) loodrecht op AB staat

Trek koorde MO en spiegel punt F in MO. Dat geeft F' op de cirkel.

Bewijs dat FX = F'Y
Bewijs dat hoeken FMA en F'MY gelijk zijn.

Bewijs dat MF'DY een koordenvierhoek is.

Bewijs dat de hoeken F'MY en DME gelijk zijn

Bewijs dat XM = YM

DABC is gelijkzijdig en de hoekpunten A, B en C liggen op een cirkel c. P is een ander punt op cirkel c (zie tekening)
Je gaat nu bewijzen dat AP = BP + CP.
Teken op het verlengde van lijn CP een punt D zodat PB = PD

Bewijs dat ∠BPD gelijk is aan 60˚.

Bewijs dat ook de hoeken BPA en APC 60˚ zijn

Bewijs dat AP = CD.

Bewijs dat AP = BP + CP.

De stelling van Miguel.

Op de zijden van driehoek ABC liggen de punten P, Q en R.
De punten A, P en R bepalen een cirkel c₁ en de punten B, Q en P bepalen een cirkel c₂.
Deze twee cirkels snijden elkaar binnen de driehoek in een punt S.
De punten C, R en Q bepalen een cirkel c₃.

Bewijs dat ook cirkel c₃ door punt S gaat

hint:

bewijs dat CRSQ een koordenvierhoek is

In een rechthoekige driehoek ABC met rechte hoek C worden twee punten D en E willekeurig op AC en BC gekozen.

Trek de lijnen AE en BD.
Trek de lijnen CP en CR loodrecht op BD en AE.
Trek CS loodrecht op DE.
Teken de hoogtelijn vanuit C, die snijdt AB in Q.

Bewijs dat de punten P,Q, R en S op een cirkel liggen.

hint 1:	CDPS is een koordenvierhoek
hint 2:	∠SDC = ∠SPC
hint 3:	CRSE, QPBC, ARQC zijn koordenvierhoeken.

Stelling van Ptolemaeus

De diagonalen van een koordenvierhoek hebben een erg leuke eigenschap. Hiernaast zie je zo'n koordenvierhoek ABCD met zijn diagonalen. E is een punt op AC zodat ∠ADE = ∠CDB

Uit gelijkvormigheid kun je beredeneren dat AD • BC = AE • BD

Toon dat aan.

Toon ook aan dat AB • CD = EC • BD

De stelling van Ptolemeus zegt:
"Het product van de diagonalen van een koordenvierhoek is gelijk aan de som van de producten van de overstaande zijden".

Toon dat aan.

10.

De punten P en Q liggen op een cirkel met middelpunt M.
R is een punt op het verlengde van PQ.

Door R wordt een lijn loodrecht op RM getekend.
Deze lijn snijdt de raaklijnen in P en Q aan de cirkel in de punten A en B.

Toon aan dat PA = QB