Vergelijkingen met breuken.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Bij al dat werken met breuken moet je twee dingen goed in gedachten houden:
1. Je mag niet door nul delen
2. Een breuk is eigenlijk "gedeeld door" en dus ook één blokje (net als vermenigvuldigen)
Waarom mag ik niet door nul delen dan?

Dat ontdek je als je je bedenkt wat delen eigenlijk is.
Kijk:  6/3 = 2  maar waarom is dat zo? Omdat 3 • 2 gelijk is aan 6 natuurlijk!
En zo is  0/4 = 0 omdat  4 • 0 gelijk is aan nul.

Maar probeer het nou eens met delen door nul:
5/0 = ?  dan moet gelden  0 • ? = 5  en dat kan niet, want nul keer iets is altijd nul.
Daarom bestaat 5/0 niet.

Nou is er normaal gesproken met breuken geen probleem: een opgave met nul in de noemer zul je niet krijgen.
Het wordt echter link als er een letter in de noemer staat!  Dan zou het maar zo kunnen dat die letter een getal wordt dat de noemer nul maakt. En dat mag niet, zoals we zojuist zagen. Dus zo'n letter in de noemer mag niet zomaar alles meer worden!
Goede wiskundigen kijken naar een opgave en bedenken zich eerst (voordat ze aan het werk gaan) wat de letter allemaal mag zijn.  Hier zijn er drie aan 't werk:

Oké, stel dat we alle blokjes zo veel mogelijk hebben vereenvoudigd.
Wat dan?
Hoe pakken we breuken aan?
Hoe raken we die rotdingen kwijt?

De grote truc is als volgt.
Weet je nog hoe we de vergelijking   3x = 12 oplosten? Er staan twee blokjes, dus het heen en weer schuiven van blokjes helpt niet meer. We moesten ervoor zorgen dat de 3 bij de x vandaan gehaald werd. En dat kon door beide kanten van de balans (het = - teken) te delen door 3. Dan kreeg je  x = 12/3 = 4.

Nou; met breuken gaat het bijna hetzelfde:
Denk aan de balansmethode:  "Als we beide kanten van het  = - teken hetzelfde doen, dan blijft de vergelijking kloppen".
Stel dat er staat x/4 =  20.  Als je die 4 daar weg wilt hebben dan kun je gewoon "keer 4" doen. Immers dan heb je x/4 • 4 en dat is gelijk aan x. Want als je een getal deelt door 4 en het daarna weer keer 4 doet dan komt het getal zelf er weer uit.

Maar nou komt het:  Als je zo graag "keer 4" wilt doen dan moet je wel álle blokjes van de vergelijking keer 4 doen!!!!
In dit geval moet 20 dus óók keer 4. Dat geeft dan  x = 20 • 4 = 80

Als er méér blokjes zijn?
Dan moet je álle blokjes keer 4 doen!
Kijk maar: stel dat je een boel blokjes hebt met ééntje x/4. Dan doe je beide kanten van de balans keer 4.
MAAR DAN WEL DE HELE SCHAAL KEER 4!!!!!

Aan de blauwe pijlen kun je zien dat je dan ELK blokje keer 4 moet doen.

Voorbeeld 1.
Los op    x + 2 + x2 = x/4 + 72

Alle blokjes keer 4 geeft  4x + 8 + 4x2 = x + 288
En dat is een oude bekende, los hem zelf maar op met de ABC-formule. (er komt uit x= 8  of  x = -8,75)

Voorbeeld 2.
Los op:   2x - 3 = 4/(x - 1) + 1

Op de eerste plaats merken we op dat x niet 1 mag zijn: dan staat er delen door nul.
Alle blokjes vermenigvuldigen met (x - 1)  geeft   2x• (x - 1) - 3 • (x - 1) = 4 + 1 • (x - 1)
En nu is 't weer een som zonder breuken. Werk de haakjes maar weg en los hem op (er komt uit x = 3  of x = 0)
Nog wel even controleren dat er niet  x = 1 uitkomt, want dat mag niet!
Voorbeeld 3.
Los op:  8/(2x - 1) + 2 = 10/x

Wauw:  TWEE breuken maar liefst  We zien meteen dat x niet  0,5 mag zijn (dan is namelijk 2x - 1 = 0) en niet  0.
Laten we de breuken één voor één wegwerken.
Eerst maar elk blokje vermenigvuldigen met (2x - 1).
Dat geeft   8 + 2•(2x - 1) = 10/x • (2x - 1)
Links kunnen we haakjes weghalen:  8 + 4x - 2 = 10/x • (2x - 1)
Nu elk blokje vermenigvuldigen met  x:   8x + 4x • x  - 2x = 10 • (2x - 1)
rechts ook de haakjes wegwerken en er staat  8x + 4x2 - 2x = 20x - 10

In onze "blokjestaal"  staat dat hiernaast.
De rest is eenvoudig (oplossingen x = 2,5  of x = 1)

Laatste probleem:  Breuken binnen de haakjes
Nu zul je eerst de haakjes moeten wegwerken voordat je de breuken laat verdwijnen.
Het volgende voorbeeld spreekt waarschijnlijk wel voor zich:

Los op:  5(x + 6/x) = 8x + 1.

Het gaat als hiernaast.

In de laatste stap is dus elk blokje vermenigvuldigd met x. Had je eraan gedacht dat x niet gelijk aan 0 mag zijn....?

(de oplossing is trouwens x = 3  of x = -31/3)

   
1. Los op:
a.

x = 2
f.

x = -2 of x = 4
b.

x = 3
g.

x = -1/3 of x = 1
c.

x = 4
h.

x = 1
d.

x = 1/2 of x =- 1/2
i.

x = -1/2 of x = 1/2
e.

x = 4
j.

x = -1/2 of x = 1/2
           
2. Het gaat goed met de paashaas!
De laatste tijd is de vraag naar chocolade-eitjes enorm toegenomen. Het aantal kg chocolade blijkt te voldoen aan:
   
 

           
  Dit jaar (t = 2000) zal de paashaas precies 5000 kg nodig hebben. Welk jaartal hoort dan bij t = 0?
           
3. Het gaat níet goed met de slagingspercentages van een middelbare school voor HAVO/VWO.
In de loop der jaren blijken er steeds minder leerlingen te slagen!!
De verontruste rector stelt de volgende twee formules op:
           
 

           
  H is het percentage slagers op HAVO, V het percentage slagers op VWO,  t de tijd in jaren met t = 0 in 2000
       
  a. Hoeveel procent is het aantal HAVO-slagers in 2005 kleiner dan het aantal VWO-slagers?
       
  b. Als dit zo doorgaat, wat zal er dan uiteindelijk met de slagingspercentages gebeuren?
       
  c. Bereken algebraïsch in welk jaar het percentage slagers voor HAVO gelijk zal zijn aan het percentage slagers voor VWO.
           
4. Als iemand  dood gaat, dan neemt  vanaf het moment van zijn dood de lichaamstemperatuur af. In het begin zal die 37°C zijn, en uiteindelijk zal die gelijk worden aan de temperatuur van de omgeving.
Die afkoeling wordt aardig omschreven door de functie:
 

           
  T is de temperatuur in °C  en  t is de tijd in uren met t = 0 het tijdstip van overlijden. de constante c is gelijk aan de omgevingstemperatuur.

De politie vindt om 21:15 een lijk in water van 5°C. De temperatuur van het lijk is op dat moment gelijk aan  10°C

       
  Hoe laat is de moord gepleegd als het lijk direct na de moord in het water is gegooid?
     

15:53 uur
           
5. Als x en y twee positieve gehele getallen zijn, dan blijkt dat x/y + y/x  altijd groter of gelijk aan 2 te zijn.
Dat kun je aantonen door te laten zien dat x/y + y/x - 2 altijd groter dan nul is.
Toon dat aan.
           
6. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2007.
           
  De honingbij (Apis Mellifera) verzamelt nectar van bloemen om honing van te maken. Soms halen de honingbijen de nectar van grote afstand.
Honingbijen geven elkaar informatie over de afstand tot de voedselbron door zogenoemde kwispeldansen uit te voeren. Het aantal kwispeldansen dat een honingbij per minuut maakt is een maat voor de afstand. Voor afstanden tussen de 300 en 2700 meter geldt ruwweg de volgende formule:

 

           
 

Hierin is x de afstand tot de voedselbron in kilometers en y het aantal kwispeldansen per minuut.
Een honingbij die een nieuwe voedselbron heeft ontdekt, maakt 16 kwispeldansen per minuut.
           
  a. Bereken de afstand tot deze voedselbron in meters nauwkeurig.
         

1250 m
  Een honingbij heeft een voedselbron ontdekt en maakt kwispeldansen om andere honingbijen te informeren over de afstand. Een andere honingbij heeft een andere voedselbron ontdekt die 1 kilometer dichterbij is. Deze honingbij maakt per minuut 40% meer kwispeldansen dan de eerste honingbij. Met behulp van de formule kun je berekenen om welke twee afstanden het hier gaat.
           
  b. Bereken deze twee afstanden.
         

2,5 en 1,5 km
           
7. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2011.

Als iemand in koud water terecht komt, daalt zijn lichaamstemperatuur. Als de lichaamstemperatuur is gedaald tot 30 ºC ontstaat een levensbedreigende situatie. De tijd die verstrijkt tussen het te water raken en het bereiken van een lichaamstemperatuur van 30 ºC wordt de overlevingstijd genoemd.

Voor een persoon die te water is geraakt in gewone kleding en met een reddingsvest geldt de volgende formule:
           
 

           
  Hierin is R de overlevingstijd in minuten en T de watertemperatuur in ºC.
           
  a. Bereken op algebraïsche wijze de watertemperatuur waarbij de overlevingstijd 5,0 uur is. Rond daarna je antwoord af op een geheel aantal graden.

     

15,66
  In de figuur is de grafiek van R als functie van T  geschetst. De grafiek heeft een verticale asymptoot.
       
  b. Bereken de waarde van T die bij de verticale asymptoot hoort en leg uit wat de betekenis van de verticale asymptoot is voor de situatie van de te water geraakte persoon.
     

T = 23
   
           
8. Een fles witte wijn wordt op tijdstip t = 0  (t in tientallen minuten) uit de koelkast gehaald, en in de kamer gelegd.
De temperatuur (T) van de fles in ºC  neemt vanaf dat moment langzaam toe, volgens de volgende formule:
           
 

           
  a. De wijn moet gedronken worden op een temperatuur van 15ºC. Bereken algebraïsch hoe lang van tevoren de fles dan uit de koelkast gehaald  moet worden. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig.
         

53 min.
  b. Maak een toenamendiagram van T op het interval [0, 10] met stapgrootte 2. Leg daarmee uit of er hier sprake is van toenemende/afnemende stijging/daling.
           
  c. Leg duidelijk uit wat de temperatuur van de koelkast is en wat de temperatuur van de kamer is.
         

41/3 en 18
9. De meeste autobanden zijn gemaakt van natuurrubber of synthetisch rubber.
De profieldikte p van een autoband is erg belangrijk in verband met de lengte van de remweg. 

Voor de remweg bij een snelheid van 120 km/uur van een auto met banden van natuurrubber geldt de volgende tabel:
           
 
remweg bij regen bij 120 km/uur
natuurrubber
profieldiepte remweg
8,0 mm
5,0 mm
3,0 mm
1,6 mm		 64 m
67 m
74 m
97 m
           
  Bij deze tabel hoort een formule van de vorm  R =  62 + 118/(p² + c)   daarin is R de remweg in meter en p de profieldikte in mm.  c is een constante die van het materiaal van de band afhangt.
           
  a. Bepaal de waarde van c die bij bovenstaande tabel hoort.
         

0,8
  Voor synthetisch rubber geldt  c = 1,4.
De rest van deze opgave gaat over banden van synthetisch rubber.
           
  b. Wat is de minimale remweg die een band in theorie kan hebben?
         

62 m
  De profieldikte van een band van vermindert in de loop van de tijd door slijtage. Het blijkt dat de profieldikte afhangt van het aantal gereden kilometers  volgens de formule:
           
  p(x) =  pₒ/(0,1x² + 1)  met  x het aantal gereden kilometers in duizenden, en  pₒ de profieldikte van een nieuwe band.
           
  c. Hoeveel kilometer duurt het voordat de profieldikte van een nieuwe band gehalveerd is?
         

3162 km
  d. Een nieuwe band heeft profieldikte 8 mm.
Hoeveel km kun je ermee rijden voordat de remweg bij 120 km/uur minder dan 70 m is geworden?
         

3452 km
           
10. Een nieuwe game wordt gelanceerd op 1 november 2013 en is voorlopig alleen online te spelen (tegen een kleine betaling). Het aantal online gebruikers neemt in het begin sterk toe, en de volgende formule geldt  (d in dagen met d = 1 op 1 november, A het aantal gebruikers in honderden).
           
 

           
  a. Wanneer zijn er 37500 gebruikers? Geef een algebraïsche berekening.
   

15 november
  b. Als deze formule steeds geldig blijft, hoeveel gebruikers zullen er dan op den duur zijn?
         

50000
  Maar helaas: op een gegeven moment wordt het spel gekraakt en kun je een gratis versie voor op de PC downloaden.
Vanaf dat moment zakt het aantal gebruikers spectaculair, en geldt de volgende formule:
       
 

       
  B is het aantal gebruikers in honderden.

Hiernaast zie je in één figuur de grafieken van A en B.
       
  c. Op welke datum komt de gekraakte versie online?
     

23 november
  d. Hoe kun je aam de formule van B zonder berekeningen te maken al zien dat het een dalende functie is?
 
     
         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)