differentiaalvergelijkingen algemeen1


Differentiaalvergelijkingen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Het komt erg vaak voor dat de snelheid waarmee iets verandert afhangt van hoe groot het is.
Bijvoorbeeld:

•

Bij bewegingen: als een voorwerp valt hangt de mate waarin de snelheid toeneemt af van de grootte van die snelheid. Immers bij grote snelheid is de luchtwrijving ook groot en zal de snelheid minder snel toenemen dan bij lage snelheid.

•

De snelheid waarmee iets wat in een koelkast wordt gezet afkoelt, hangt af van de temperatuur. Dus weer: hoe snel de temperatuur verandert hangt af van de grootte van de temperatuur.

•

De snelheid waarmee een hoeveelheid zout in water oplost hangt af van de zoutconcentratie in het water. Hoe snel die concentratie verandert hangt dus af van hoe groot die concentratie is.

•

De snelheid waarmee een bacteriekolonie groeit hangt af van de grootte van die kolonie. Als er meer zijn komen er meestal ook meer bij.

Als we voor dit soort gevallen een vergelijking gaan proberen op te stellen, dan staan in deze vergelijking dus een grootheid zélf, maar ook de afgeleide ervan. Zo'n vergelijking heet een differentiaalvergelijking.

In een differentiaalvergelijking komen zowel y als y' voor (of zelfs y'' of y''' of ...)

(y' zullen we af en toe ook noteren als ^dy/_dx maar daarover later meer).
Dit zijn voorbeelden van differentiaalvergelijkingen:

Oplossingskrommen.

Differentiaalvergelijkingen zijn anders dan "gewone" vergelijkingen. Gewone vergelijkingen hebben "oplossingen" en dat zijn getallen of series getallen. Bij differentiaalvergelijkingen is dat anders. Er staan y-en én x-en in, waarbij die y weer afhangt van x.
De oplossingen zijn geen getallen maar formules die het verband tussen y en x weergeven. En als je een grafiek van dat verband tussen y en x tekent, dan heet zo'n grafiek (die dus voldoet aan de differentiaalvergelijking) een oplossingskromme. (het wordt ook wel een integraalkromme genoemd)

Nou zijn er bij één differentiaalvergelijking meestal een heleboel oplossingskrommen te vinden.
Twee makkelijke voorbeelden daarvan:

Makkelijk voorbeeld 1.
Neem de differentiaalvergelijking y' = 2x
Nou, die ken je natuurlijk al lang. Van welke formule is de afgeleide gelijk aan 2x? Precies! Gewoon primitiveren: y = x² .
Maar zoals je nog wel weet hopelijk zijn ook y = x² + 2 en y = x² + 4 enz. oplossingen. Primitieven zijn op een constante na bepaald. Je zou al deze oplossingen kunnen noteren als y = x² + c.

Makkelijk voorbeeld 2.
Neem de differentiaalvergelijking y' = y
Rara: Welke functie is zijn eigen afgeleide?
Tuurlijk! Dat is y = e^x.
Een oplossingskromme van deze vergelijking zal dus de grafiek van y = e^x zijn. Maar..... ook y = 3e^x of y = 42e^x of ga zo maar door, zijn allemaal oplossingen! Ga dat zelf maar na.
We hebben hier weer te maken met een hele serie oplossingen, die we zouden kunnen samenvatten als y = ce^x .

Het komt eigenlijk allemaal doordat heel veel functies dezelfde afgeleide hebben (namelijk door er een constante bij te zetten). En daarom heeft een functie een heleboel primitieven. Het oplossen van een differentiaalvergelijking is toch een soort van ingewikkeld primitiveren, en geeft daarom veel mogelijke oplossingen.
Zo'n algemene vorm met één of meer constanten c erin noemen we een algemene oplossing van de differentiaalvergelijking

Een differentiaalvergelijking heeft een serie oplossingskrommen.

Hoe zien die krommen eruit?

Bij differentiaalvergelijkingen waarin alleen y' staat (en geen hogere afgeleiden) kun je een aardig idee krijgen hoe de oplossingskrommen eruit zien. Dat doe je door een zogenaamd lijnelementenveld te tekenen, en dat gaat zo:
Bereken voor een groot aantal punten wat y' is. Die y' stelt de helling van de oplossingskromme in dat punt voor. Teken daarom een mini-lijntje met die helling en je weet hoe de oplossingskromme in dat punt loopt (zo'n mini-lijntje heet een lijnelement).

Neem bijvoorbeeld de differentiaalvergelijking y' = y - x + 2
In (2,4) geldt y' = 4 - 2 + 2 = 4 dus daar teken je een mini-lijntje met helling 4
In (1, 0) geldt y' = 0 - 1 + 2 = 1 dus daar teken je een mini-lijntje met helling 1.
enzovoorts
Dat geeft de figuur hiernaast.

Probeer maar eens daar een grafiek in te tekenen die met alle lijnelementen "klopt". Dus die overal de blauwe helling heeft. Als dat lukt dan heb je een oplossingskromme gevonden.
Hiernaast staan een paar van die oplossingskrommen getekend.

Ik hoop dat je zoiets in gedachten had....

Een oplossing gokken...

Een vergelijking van zo'n oplossingskromme vinden is niet zo makkelijk. Maar soms kun je er wel eentje vinden door slim te gokken. Als je al die oplossingskrommen in de figuur hierboven ziet, dan vermoed je misschien wel dat er een rechte lijn is die een oplossing is. Die lijn waar ze allemaal ergens daar linksonder naar toe lopen.

Om dat te bewijzen, en om ook te ontdekken welke lijn dat nou precies is, gaan we gewoon de algemene formule van een rechte lijn (y = ax + b) invullen in de differentiaalvergelijking (y' = y - x + 2).
Dat geeft: a = (ax + b) - x + 2
Herrangschikken: 0 = x(a - 1) + (2 - a + b)
Omdat dit laatste voor elke x moet gelden, mag het niet afhankelijk zijn van x. Dat kan alleen als het deel (a - 1) dat bij x staat nul is, dus als a = 1. Dan staat er 0 = 2 - 1 + b ofwel b = -1
Gevonden!
Het is de lijn y = x - 1.

Voorbeeld.

Het lijnelementenveld van de differentiaalvergelijking y' = y - x² + 5 staat hiernaast getekend met een aantal mogelijke oplossingskrommes erin geschetst.
Het lijkt erop dat dat een beetje paraboolachtige vormen zijn. Daarom vragen we ons af: Is er een parabool die een oplossing is?

Probeer y = ax² + bx + c en vul dat in in de differentiaalvergelijking:

2ax + b = (ax² + bx + c) - x² + 5
Herrangschikken: x²(a - 1) + x(b - 2a) + (c - b + 5) = 0

Om voor elke x nul te worden mag dit niet afhankelijk zijn van x, dus moeten zowel (a - 1) als (b - 2a) nul zijn.
Dat geeft a = 1 en b = 2.
Omdat ook (c - b + 5) nul moet zijn vinden we c = -3.

Een oplossing is y = x² + 2x - 3. Het is die parabool in de tekening die door (0,-3) gaat. Die andere krommen zijn dus géén parabolen!!

Isoklinen.

Het is nogal veel werk om zo'n lijnelementenveld te tekenen. Soms gaat het wat sneller als je gebruik maakt van zogenaamde isoklinen. Dat zijn krommen door punten waar de differentiaal dezelfde helling geeft. Eigenlijk krommen van constante helling dus.

Neem bijvoorbeeld de differentiaalvergelijking y' = x - y.
Wat gebeurt er als we punten bekijken die dezelfde helling y' opleveren?
y' = -3 geeft -3 = x - y ofwel y = x + 3
y' = -2 geeft op dezelfde manier y = x + 2
Zo kunnen we nog een poosje doorgaan. Hiernaast staan de figuren die bij een bepaalde helling horen getekend. Het zijn zoals we al zagen rechte lijnen. Die heten dus isoklinen.

Op zo'n isokline hebben alle lijnelementen dus dezelfde helling.
Dat tekent makkelijk een lijnelementenveld, en daarna een paar oplossingskrommen erin, zoals je hieronder ziet.

Nou was dit lijnelementenveld ook nog wel vrij snel zonder die isoklinen te tekenen. Hieronder zie je nog een voorbeeld waar de isoklinen wel duidelijk een sneller resultaat opleveren.
De differentiaalvergelijking bij dit voorbeeld is y' = x² - 2y + 4x
De isoklinen zijn is dit geval parabolen, immers als je de helling y' gelijk stelt aan c, dan staat er c = x² - 2y + 4x
ofwel y = ¹/₂x² + 2x - ¹/₂c
Plot in je rekenmachine Y1 = 0.5X^2 + 2X - 0.5*{-10, -8, -4, 0, 4, 8, 12, 20} en je hebt het plaatje hier linksonder.
De rest spreekt dan voor zich, denk ik....

OPGAVEN

Eén van de oplossingskrommen in de figuur hier rechtsboven is een parabool. Geef de formule van die parabool.

y = 0,5x² + 1,5x - 0,75

Een wiskundige heeft ontdekt dat de oplossingskrommen van differentiaalvergelijkingen, waarin als afgeleide alleen een y' staat, elkaar nooit snijden.
Leg uit waarom dat logisch is.

Gegeven is de differentiaalvergelijking ^dy/_dx = ¹/₄x + y - 1.

Teken de isoklinen waarvoor ^d^y/_dx = { -4, -2, 0, 2}

Teken een lijnelementenveld voor -4 ≤ x ≤ 4 en -4 ≤ y ≤ 4.

Eén oplossingskromme is een rechte lijn. Toon dat aan en geef de vergelijking van die lijn.

y = -0,25x + 0.75

Gegeven is de differentiaalvergelijking ^dy/_dx = ^{(x + 2)}/_{(y - 1)}

Teken een lijnelementenveld voor -4 ≤ x ≤ 4 en -4 ≤ y ≤ 4.

Geef een vergelijking van de isokline die door het punt (2,4) gaat.

y = ¹/₂x + 3

Hiernaast staat een lijnelementenveld voor de differentiaalvergelijking
2xy' + 4y = 3.

Schets een aantal oplossingskrommen daarin.

Het lijkt erop dat de oplossingskrommen de vorm van y = ¹/_x hebben, maar schijn bedriegt. Toon aan dat er geen oplossingskromme van de vorm y = a + ^b/_x bestaat.

Er is wél een oplossing van de vorm y = a + ¹/_x² . Bereken in dat geval a.

a= 0,75

Toon aan dat behalve n = 2 geen enkele andere oplossing van de vorm y = a + ¹/_xn bestaat.

Toon aan dat alle isoklinen rechte lijnen door het punt (0, ³/₄) zijn.

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1990.

In onderstaande figuur is een gedeelte van het lijnelementenveld van D getekend.

Deze figuur doet vermoeden dat er twee eerstegraads functies zijn die voldoen aan D.

Onderzoek of dit vermoeden juist is.

De functies f_p(x) = x + √(1 - px) zijn oplossingen van D.

Bewijs dit.

Een andere notatie: differentialen.

Je weet natuurlijk al wel dat je de afgeleide y' ook kunt schrijven als ^dy/_dx . Dat is hierboven ook af en toe al gebeurd.

Dat is ooit begonnen als in de figuur hiernaast. De afgeleide was de helling van de grafiek in een punt en die konden we benaderen door met een punt vlak ernaast. Met "vlak" ernaast bedoelden we: zo dicht mogelijk, dus dx (en dan ook dy) zijn zo klein mogelijk. Hun verhouding ^dy/_dx was dan een benadering voor de helling van de grafiek.
Bedenk dat goed: dy en dx stellen alléén niets voor; het zijn lijnstukjes die we zo klein mogelijk willen nemen. Alléén hun verhouding heeft betekenis. We noemen ze differentialen.

Als je nu een vergelijking hebt met in sommige termen y' en in sommige termen niet, dan kun je alles met dx vermenigvuldigen, zodat overal een dy of een dx bij staat.

Voorbeeld.
Neem de differentiaalvergelijking y' + 2x = 3 - y · y'
Schrijf y' als ^dy/_dx en je krijgt ^dy/_dx + 2x = 3 - y · ^dy/_d_x
Vermenigvuldig alles met dx en je krijgt: dy + 2xdx = 3dx - ydy

In deze laatste vorm worden differentiaalvergelijkingen vaak geschreven. Merk op dat in elke term een dy of een dx staat.

Terugwerken naar een vergelijking met y' = ^dy/_dx kan natuurlijk makkelijk door alles weer door dx te delen.....Dat gaat zó:

Voorbeeld.
Neem de differentiaalvergelijking 2xdx + xydy = 5dy - x²dx
Deel alles door dx en je krijgt 2x + xy^dy/_dx = 5^dy/_dx - x²Schrijf dat weer met y' en je krijgt: 2x + xy · y' = 5y' - x²

OPGAVEN

7.	examenvraagstuk VWO 1981 Gegeven zijn de differentiaalvergelijking xdy = (y - 1 + lnx)dx en voor elke p ∈ R de functie f_p: x → px - lnx met domein R⁺

	a.	Bewijs dat voor elke p de grafiek van f_p een oplossingskromme van de differentiaalvergelijking is.

	b.	De verzameling van de punten waarin het lijnelement met richtingscoëfficiënt 1 aan de differentiaalvergelijking voldoet, is een kromme. Voor welke p geldt: deze kromme snijdt de grafiek van f_p loodrecht?

8.	examenvraagstuk VWO 1982 Voor elke p ∈ R is D_p de differentiaalvergelijking: (x² + 2y)dy = (p - 2xy)dx

	a.	Voor welke p en voor welke k ∈ R geldt: de parabool y = kx² is een oplossingskromme van D_p?

	b.	Voor welke p geldt: een oplossingskromme van D_p snijdt een oplossingskromme van D₃ loodrecht in het punt (1, p)?

9.	examenvraagstuk VWO 1982 D is de differentiaalvergelijking: dy = (3e^x - 2y)dx

	a.	Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is voor t ∈ R⁺ de kromme K gegeven door: x = lnt en y = 2t + ¹/_t2 Onderzoek of K een oplossingskromme van D is.

	b.	De vergelijking van een oplossingskromme van D is: y = e^x + g(x) waarbij g een differentieerbare functie van x is. Deze oplossingskromme gaat door het punt (0,3) Stel een functievoorschrift van g op.

10.	examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1982. Gegeven is de differentiaalvergelijking D: (y - x² + x )dy = (2y - 2x + 2)dx V is de verzameling van punten waarin het lijnelement van D een negatieve richtingscoëfficiënt heeft. Maak een tekening van V.