exponentiele vergelijkingen

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Vergelijkingen met logaritmen en exponenten.

De stand tot nu toe.

Bij exponentiële functies heb je al geleerd hoe je vergelijkingen met "x-en in de lucht" exact kunt oplossen. Daar waren twee manieren voor, kijk maar:

1. "Hopen dat het goed uitkomt"
Los op: 6 + 3 • 2^{x - 4} = 54
Dat geeft 3 • 2^{x - 4} = 48 ⇒ 2^{x - 4} = 16.
En nou is die 16 "toevallig" precies gelijk aan 2⁴. Dus moet gelden x - 4 = 4 ⇒ x = 8

2. "Dezelfde grondtallen maken"
Los op 9 • 27^x = ¹/₃ • 3^{2x
+ 2}
Daar kun je allemaal 3^.... van maken, kijk maar:
3² • (3³)^x = 3^-1 • 3^{2x
+ 2} ⇒ 3² • 3^3x = 3^-1 • 3^{2x + 2} ⇒ 3^{2 + 3x} = 3^{2x + 1} Dus moet gelden: 2 + 3x = 2x + 1 ⇒ x = -1

Gebruik van logaritmen

Als het allemaal niet zo goed uitkwam dan greep je natuurlijk gewoon snel naar je rekenmachine, je voerde de beide zijden van de vergelijking in bij Y1 en Y2 en "berekende" via CALC - INTERSECT het snijpunt. Om daarna tevreden achterover te leunen.....

Maar dat kan nu beter natuurlijk! Zonder dat lelijke afronden. En veel sneller dan via intersect.

Dat komt voor bij alle exponentiële problemen waarbij de tijd moet worden berekend.
Kijk maar:

Voorbeeld 1.
Het aantal bacteriën op een Petrischaal in een laboratorium neemt exponentieel toe. Elk uur komt er 12% bij.
Om 00:00 uur zijn er 200000 bacteriën.
Hoe laat zullen er dan 1000000 bacteriën zijn?

Oplossing:
De beginwaarde is 200000, de groeifactor is 1,12 en de eindwaarde is 1000000
Dat geeft de vergelijking 1000000 = 200000 • 1,12^t
5 = 1,12^t ⇒ t =^1,12log5 = ^LOG5/_LOG1,12 ≈ 14,20 uur na 00:00 en dat is om 14'12''

En de echte wiskunde-puristen onder ons gaan dat natuurlijk niet afronden, maar die zeggen gewoon "op tijdstip ^1,12log5".

"Hopen dat het goed uitkomt" is dus vanaf nu niet meer nodig. Maar ook dat "grondtallen gelijk maken" kan met logaritmen.
Stel dat je bijvoorbeeld hebt 12^x en je wilt er 6^iets van maken.
Dan kan, als je je bedenkt dat je grondtal g kunt veranderen in grondtal p door te gebruiken:

Voorbeeld 2.
Los op 6^x = 12^x-1

Oplossing:

Dus x = ⁶log12 • (x - 1)
⇒ x = x • ⁶log12 - ⁶log12 ⇒ ⁶log12 = x • ⁶log12 - x ⇒ ⁶log12 = x • (⁶log12 - 1)

Het kan natuurlijk ook zó: (zo deden we het in les E4e over berekeningen met machten)
6^x = 12^{x - 1} = 12^x · 12^-1
¹/₁₂-1 = 12^x/6^x
12 = (¹²/₆)^x = 2^x
x =²log12

Later zullen we nog een andere manier vinden om deze vergelijking met logaritmen op te lossen.

OPGAVEN

Voorbeeld 2 hierboven kun je ook nog oplossen door voor 12 in de plaats 2 • 6 te schrijven en dan de machten verder uit te werken. Dat levert dan uiteindelijk weer op x = ²log12

Maak die berekening.

Laat zien dat beide antwoorden ongeveer gelijk zijn aan 3,58.

De waterlelies in een plas groeien in de lente nogal snel. Het blijkt dat er elke week de waterlelieoppervlakte 18% toeneemt.
Bereken in hoeveel tijd de oppervlakte drie keer zo groot zal worden. Geef je antwoord eerst onafgerond en daarna ook in één decimaal nauwkeurig.

^1,18log3 = 6,6

Radioactieve α-deeltjes zijn zware positief geladen deeltjes. Als een α-deeltje door lucht gaat zal het energie afstaan en uiteindelijk twee elektronen opnemen waarna het eindigt als een neutraal heliumatoom. De lengte van de baan van een α-deeltje noemt men zijn dracht. Dat is dus de maximale reikwijdte.
Die dracht D (in cm) hangt af van de energie E (in MeV) van het deeltje en de dichtheid ρ (in ^kg/_m3) van de lucht.
Men hanteert de vuistregel: D = 0,3 • E^1,8/ρ

In normale omstandigheden is de dracht van zo'n deeltje met energie 5 MeV ongeveer 3,2 cm. Bereken daarmee algebraïsch de dichtheid van de lucht.

ρ ≈ 1,224

Op grote hoogten is de lucht ijler, dus de dichtheid ervan kleiner. Het blijkt dat (bij constante temperatuur) de luchtdichtheid ongeveer exponentieel afneemt volgens de formule ρ = 1,23 • 0,999874^h
(met h in meter vanaf zeeniveau en ρ in ^kg/_m3).

Bij welk hoogteverschil halveert de luchtdichtheid? Geef je antwoord in honderden meters nauwkeurig.

5500 m

Op welke hoogte zal een α-deeltje van 5 MeV een dracht van 8 cm hebben?

2637 m

Los op en geef je antwoorden zowel exact als in twee decimalen nauwkeurig:

5^{x + 1} = 12^x

¹/(⁵log12 - 1) ≈ 1,83

7^x = (0,5)^{x + 1}

⁷log(0,5)/(1-⁷log(0,5)) = -0,26

4^2x = 7^{x

- 2}

⁷log4 - 2 ≈ -1,29

3^x = 2• 4^{x + 3}

3.5/(⁴log3 - 1) = -16,87

(examenvraagstuk)
Voor de kust van Spanje worden in zee mosselen gekweekt. Deze mosselen hangen aan verticale touwen die op hun beurt weer zijn vastgemaakt aan drijvende kabels. Zie figuur.

Deze kabels liggen naast elkaar, loodrecht op de stroomrichting van het zeewater (zie figuur hieronder). Dat zeewater stroomt steeds even snel en in dezelfde richting. Een mosselkweker zal proberen zoveel mogelijk kabels naast elkaar te leggen. Maar hij moet er wel voor zorgen dat alle mosselen voldoende voedsel krijgen. De mosselen filteren voedseldeeltjes uit het stromende water. Bij het passeren van iedere kabel verliest het water dus voedsel.

n_k is de hoeveelheid voedsel na het passeren van kabel k.
n₀ = 350 (^mg/_l) is de hoeveelheid voedsel voor het passeren van de eerste kabel.
Voor de hoeveelheid voedsel na kabel k geldt de formule n_k = 0,993 • n_k_{- 1}.

Mosselen hebben minstens 80 ^mg/_l voedsel nodig.

Laat met een berekening zien dat de mosselen van de 150-ste kabel nog voldoende voedsel hebben

n₁₄₉ = 122,9

De mosselfarm mag het milieu niet te zwaar belasten. Daarom geldt er een milieu-eis: het zeewater moet na het passeren van de laatste kabel nog minstens een kwart van de oorspronkelijke hoeveelheid voedsel bevatten

Hoeveel kabels mag men maximaal naast elkaar leggen opdat alle mosselen nog voldoende voedsel hebben en ook aan de milieu-eis wordt voldaan? Licht je antwoord toe.

197

Het is natuurlijk een interessante vraag of je van wat metingen aan een embryo kunt voorspellen wat het geboortegewicht zal zijn.
De biologen Hadlock en Shepard ontwikkelden beiden een formule om dat geboortegewicht te voorspellen.
Die formules zien er zó uit:

Hadlock: ¹⁰log(G) = 1,3598 + 0,051•AC + 0,1844•FL - 0,0037•FL•AC
Shepard: ¹⁰log(G) = 1,2508 + 0,166•BPD + 0,046•AC - 0,002646•AC•BPD

Daarin is:
G = geboortegewicht (in gram).
AC = abdominal circumference = buikomtrek.
FL = femur length = lengte van het bovenbeen.
BPD = biparietal diameter = afstand van oor tot oor.
Alle afmetingen zijn in centimeters. Dit alles geldt voor de zogenaamde screening echo; dat is de echo die na 20 weken zwangerschap wordt gemaakt.

Een embryo heeft bij de echo een buikomtrek van 32,4 cm, een bovenbeenlengte van 7 cm en een oorafstand van 8,9 cm.
Bereken hoeveel de gewichtsvoorspellingen van beide formules van elkaar verschillen.

55 gram

Voor een buikomvang van 300 mm is de formule van Hadlock te schrijven als G = 776 • 1,184^FL
Toon dat aan.

Als ²log(³loga) = 2 hoe groot is dan ⁹log a ?

De LOG-Bank.
Een bank heeft een reclamestunt verzonnen. De rente die je op een rekening krijgt wordt hoger als je geldbedrag op die rekening hoger is.
Er geldt p = 1,5 • logB
Daarin is p het rentepercentage over een jaar, en B het bedrag aan het begin van dat jaar. Bij het overschrijven van de rente worden alle bedragen afgerond op centen.

Welk bedrag heeft iemand die 5,4% rente krijgt op zijn rekening staan?

3981,07

Ik heb een bedrag van 10000 euro tot mijn beschikking. Ik kan beter één rekening openen met 10000 euro dan twee rekeningen met elk 5000 euro.
Bereken hoeveel geld mij dat over een periode van twee jaar scheelt.

95,83