marginale opbrengst


Marginale zaken...	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een bedrijf verkoopt en maakt per maand 500 producten tegen een prijs van €350 per stuk. De totale opbrengst is in dit geval 500 • 350 = €175000.
Men merkt dat méér producten niet verkocht worden tegen deze prijs. Maar als men de prijs zou verlagen, dan worden er wél meer producten verkocht en kan men dus ook meer gaan produceren.
Marktonderzoek levert op dat voor elke euro prijsverlaging men ongeveer 2 producten extra verkoopt. Meer dan 1200 producten zal nooit voorkomen.
Bedrijfseconomen (of leerlingen met wiskunde in hun pakket) stellen daarom het volgende model op: q = 1200 - 2p.

Als men de prijs bijvoorbeeld verlaagt tot €320, dan kan men 560 producten gaan produceren. Dat zou een totale opbrengst van €179000,- zijn.

Als men besluit q producten te gaan maken die men allemaal wil verkopen, dan geldt:
q = 1200 - 2p ⇒ 2p = 1200 - q ⇒ p = 600 - 0,5q

De opbrengst O is dan gelijk aan
O(q) = p • q = (600 - 0,5q) • q = 600q - 0,5q²

Hiernaast staat de grafiek van O als functie van q.
Het lijkt erop dat de opbrengst maximaal is bij q = 600, en dat is inderdaad zo (bewijs het zelf maar; het is vrij eenvoudig)

Eigenlijk klopt die grafiek hiernaast natuurlijk niet!

Kijk, die q stelt het aantal geproduceerde artikelen voor, dus dat moet een geheel getal zijn. De grafiek is daarom geen doorgetrokken lijn, maar bestaat eigenlijk uit allemaal losse stippen. Die staan héél dicht op elkaar natuurlijk, dus we doen alsof de grafiek een doorgetrokken lijn is, maar eigenlijk als je er erg op zou inzoomen, dan zie je losse stippen.

Marginale opbrengst (MO)

De marginale opbrengst is het volgende:
Stel dat je een productie van q = 120 hebt, en besluit nummer 121 te gaan maken (de stip ernaast in de grafiek). Dan neemt de opbrengst ietsje toe.
Die toename van de opbrengst heet de marginale opbrengst (MO)

marginale opbrengst = extra opbrengst bij productieverhoging van 1.

In het voorbeeld was q = 120, dus O(120) = 600 • 120 - 0,5 • 120² = €64800
Bij eentje extra is O(121) = 600 • 121 - 0,5 • 121² = €65279,50
De marginale opbrengst is dan 65279,50 - 64800 = €479,50

Let op: Dit bedrag is de marginale opbrengst bij een productie van 120 maar ook de marginale opbrengst van het 121^ste product.

Wat stelt dat in de grafiek van O voor?

We zagen al dat de grafiek van O eigenlijk bestaat uit losse stippen.
Die marginale opbrengst (MO) is de toename van de grafiek, dus dat is de Δy bij Δx = 1.

Dis MO is dus ook gelijk aan ^Δy/_Δ_x en dat is een oude bekende: het is de helling van het blauwe verbindingslijnstukje, en dat is weer ongeveer gelijk aan de helling van de grafiek van O(q).

Marginale opbrengst ≈ Helling van Opbrengst
MO(q) ≈ O'(q)

Als q maar groot genoeg is, dan zal deze benadering ook goed genoeg zijn. In het vervolg zullen we overal aannemen dat de benadering goed genoeg is.
In het voorbeeld vonden we een marginale opbrengst van MO = €479,50
Met de afgeleide zou dat geven O'(q) = 600 - q = 600 - 120 = €480.
Je ziet dat dat inderdaad behoorlijk nauwkeurig is (afwijking is slechts 1%).

Het hele verhaal hierboven over de marginale opbrengst geldt natuurlijk precies zo voor de marginale kosten (MK) en voor de marginale winst (MW):

MK(q) ≈ K'(q)
MW(q) ≈ W'(q)

Voorbeeld 1 .

Voor de totale opbrengst bij een productie van q artikelen geldt O(q) = 40q - 0,02q²
Bereken de marginale opbrengst bij een productie van 32 artikelen.

MO = O'(q) = 40 - 0,04q dus MO(320) = 40 - 0,4 • 32 = €27,20.

Voorbeeld 2.

Hiernaast staat de grafiek van O(q).

Bepaal uit deze grafiek de marginale opbrengst bij een productie van 600 artikelen.
oplossing:
Teken de raaklijn aan de grafiek van O en bepaal via ^Δy/_Δ_x hoe groot de helling daarvan is. In de figuur linksonder ze je dat die ongeveer gelijk is aan ²⁴⁰⁰/₅₀₀ = 4,8, dus MO ≈ €4,80

Bepaal bij welke productie de marginale kosten gelijk zijn aan €10.
oplossing:
Teken een willekeurige lijn met helling 10 en verschuif die evenwijdig aan zichzelf totdat hij de grafiek van O raakt. In de figuur rechtsonder is dat gebeurd, en kun je aflezen dat de bijbehorende productiegrootte ongeveer gelijk is aan q = 200.

Hiernaast staat een grafiek van de totale kosten K(q) getekend. Hij hoort bij de formule: K = 0,001q³ + 0,15q²+ 5q + 120.
Beantwoord de volgende vragen a) tm d) op twee manieren:
I: met behulp van de formule van K(q)
II: met behulp van de grafiek hiernaast.

Hoe groot zijn de marginale kosten bij een productie van 20?

12,20

Bij welke productie zijn de marginale kosten €15,- per stuk?

q = 26-27

Hoe groot zijn de gemiddelde kosten bij een productie van 50?

17,40

Bij welke productie zijn de gemiddelde kosten €25 per stuk?

6-7 en 80-81

Alle geproduceerde producten worden verkocht voor €24 per stuk.

Leg uit waarom de marginale opbrengst in dit geval niet afhangt van de productiegrootte.

Geef een formule voor de winst en bereken de maximale winst.

340,42

Hoe groot is de marginale winst bij een productie van q = 60?

-9,8

Hieronder staan een aantal grafieken van TK (totale kosten), GK(gemiddelde totale kosten) en MK (marginale kosten). Die horen in drietallen bij elkaar.
Welke drietallen zijn dat? Licht je antwoord toe.

Een fabrikant van springstokken heeft een marktonderzoek laten doen en men heeft ontdekt dat voor de prijs p en het aantal verkochte springstokken q, als men alle geproduceerde springstokken inderdaad wil verkopen, een lineair verband bestaat: p = 12 - 0,0012q.
Deze formule blijkt geldig voor 0 < q < 5000.
Op de productieafdeling weet men dat de productiekosten K van q afhangen volgens de formule:
K = 0,001q² + 2q + 4500

De grafieken van de opbrengst (O) en de kosten (K) staan in de figuur hiernaast.

Geef de formule voor O(q)

Bereken de gemiddelde kosten bij een productie van 2500.

6,3

Bereken bij welke productie de marginale opbrengst ongeveer gelijk is aan €2,50

3958

Bepaal met de grafiek bij welke productie de marginale kosten gelijk zijn aan de gemiddeld kosten.

Controleer je antwoord op vraag d) met de formules.

131

Voor de winst blijkt te gelden: W(q) = 10q - 0,0022q² - 4500

Toon aan dat deze formule juist is.

Welke prijs moet men vragen om een maximale winst te behalen?

9,27

Een markthandelaar verkoopt appels. Op de fruitveiling betaalt hij een inkoopsprijs van €1,20 per kg.
Hij merkt (uiteraard) dat het aantal kg appels dat hij op een dag verkoopt (q) afhangt van de prijs die hij ervoor vraagt. Er blijkt te gelden q = 800 - 120p.
De appels die hij nog niet heeft verkocht kan hij nog kwijtraken als afval voor €0,40 per kg.

Stel dat hij op een dag een voorraad van 500 kg appels heeft gekocht, en een prijs van €4,50 per kg vraagt.

Bereken in dat geval zijn winst op die dag.

€666

Toon aan dat geldt W(p) = 848p - 120p² - 720 en bereken daarmee bij welke prijs de winst maximaal is, en hoe groot die winst is.

p = €3,53
W = €778,13

Bereken de marginale winst bij q = 300.

1,26

De man kan natuurlijk ook een ander aantal kilogram bij de fruitveiling kopen. Stel dat hij A kilogram inkoopt.

Toon aan dat de prijs die hij moet vragen om maximale winst te halen niet afhangt van het aantal kg dat hij inkoopt.

Hoeveel kg moet de man inkopen, en wat wordt dan zijn maximale winst?

A = 376,4
W = €877

Ik kocht op 1 januari 1960 een pakket aandelen. In de jaren die volgden hield ik goed de waarde van mijn pakket in de gaten. Er bleek tussen 1960 en 1987 te gelden:

Daarbij is t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 1960, en W de waarde van mijn aandelenpakket in euro.
De grafiek van deze functie staat hiernaast gegeven.

Beantwoord de volgende vragen steeds op twee manieren: aflezen uit de grafiek en berekenen met de formule.

Wanneer was de gemiddelde toename van W vanaf het begin gerekend gelijk geweest aan €80,- per jaar?

18,56

Tussen welke tijdstippen nam de waarde van mijn pakket af?

10 - 25

Op welk tijdstip nam de waarde van mijn pakket toe met €100,- per jaar?

6,72

De gemiddelde kosten G(q) waren gelijk aan de totale kosten TK(q) gedeeld door het aantal producten.
Toon aan dat bij de minimale gemiddelde kosten geldt dat GK = MK

Maximale Winst.

Mensen die in geld zijn geïnteresseerd zijn ook meestal geïnteresseerd in winst, en dan het liefst is maximale winst. Eerder al vonden we voor de winst de volgende formule: W = O - K.
Met formules is nu eenvoudig de maximale winst te bepalen: plot gewoon de grafiek van W en gebruik calc - maximum van je rekenmachine om het maximum te bepalen. Maar het kan ook met de grafieken.....

Hiernaast staan in één figuur de grafieken van O en K getekend.

De winst is gelijk aan W = O - K en dat is dus de verticale afstand tussen de grafieken van O en K (positief als O boven K zit).
In de figuur hiernaast is voor een aantal productiegroottes de winst weergegeven. Het is steeds de lengte van het groene lijnstukje.

Kortom:
langste groene lijnstukje = grootste afstand tussen O en K = maximale winst. Zo te zien ongeveer bij q = 3500 een winst van 16000
Zoals je ziet is deze manier veel onnauwkeuriger dan het berekenen met formules.

Speeltje van economen.

Er is nog een andere manier om die maximale winst te vinden. Dat zit hem in het volgende: Bij het langste groene lijnstukje hierboven zijn de hellingen van de raaklijnen aan de grafieken van O en K gelijk!
De twee zwarte raaklijnen hiernaast hebben dezelfde helling!

Waarom is dat zo?
Stel dat de helling van de bovenste lijn groter is dan die van de onderste raaklijn (zoals in de figuur hier linksonder):

Dan zou het groene lijntje iets langer worden als je het iets naar rechts zou verplaatsen, en dat zou bij een grotere winst horen. Maar dat kan niet, want het groene lijntje hoorde immers bij maximale winst!
Andersom kan de helling van O ook niet kleiner zijn dan die van K (rechterfiguur), want dan zou de winst groter worden naar links toe. De enige conclusie is: de hellingen van O en K moeten gelijk zijn, ofwel: MO = MK

W_max ⇒ MO = MK

Wij wiskundigen zien dat natuurlijk veel eenvoudiger: de winst is maximaal als de helling ervan nul is,
en omdat W = O - K moet dus gelden:   helling van (O - K) = 0
ofwel:   helling van O - helling van K = 0
ofwel:   helling van O = helling van K
ofwel:   MO = MK.

OPGAVEN

Voor een bedrijf gelden de modellen O(q) = 800 + 120√(q + 10) en K(q) = 0,02q²

Geef een formule voor de winst W als functie van q en bepaal met je rekenmachine bij welke productie die winst maximaal is.

q = 128

Bereken bij deze productie de marginale winst en de marginale opbrengst en laat zien dat die inderdaad gelijk zijn.

MO = 5,11
MK = 5,12

In de figuur hiernaast zie je de grafieken van O(q) en K(q)
Bepaal met deze figuur bij welke productie de winst maximaal is.

Een fabrikant van elektrische piano's merkt dat de totale productiekosten K (in eenheden van 10000 euro) afhankelijk zijn van de geproduceerde hoeveelheid q (in honderdtallen) volgens de formule:

K(q) = 0,2q³ - 1,6q² + 4,5q.

De grafiek daarvan staat hiernaast.
Beantwoord de vragen a), b) en c) met deze grafiek.

Hoe groot zijn de gemiddelde kosten bij een productie van 300 stuks?
Is er nog een andere productiegrootte waarbij de gemiddelde kosten even hoog zijn als bij 300 stuks? Zo ja, bij welk aantal is dat zo?

q ≈ 100 en 700

Bij welke productiegrootte zijn de marginale kosten het kleinst? Hoe groot zijn die marginale kosten dan?

q ≈ 2700
MK ≈ 25

Bij welke productiegrootte zijn de gemiddelde kosten per piano minimaal?

400

Beantwoord de volgende vragen met behulp van de formule.

Bij welke productie zijn de gemiddelde kosten per piano gelijk aan €1500?

300 en 500

Als elke piano wordt verkocht voor €3000,- bij welke productie is dan de totale winst maximaal?

q = 481

10.

Het Amerikaanse speelgoedconcern Mattel maakt onder anderen barbiepoppen.
De prijs (p) die men in Nederland voor een pop bij de groothandel kan vragen om een hoeveelheid (q) te verkopen voldoet aan: p(q) = 0,004q - 0,000005q²

Bereken de marginale opbrengst bij q = 300

1,05

Voor welke q (behalve natuurlijk q = 0) zijn de gemiddelde opbrengst en de marginale opbrengst aan elkaar gelijk? Geef een berekening.

q = 400

Voor welke q is de marginale opbrengst maximaal? Geef een berekening.

266-267

11.

Bij de invoering van de nieuwe Ipad heeft de firma Apple uiteraard een uitgebreid marktonderzoek gedaan.
Dat leverde op dat het aantal Ipads dat men in de eerste maand denkt te verkopen in Nederland afhangt van de gevraagde prijs p volgens de formule: q = 400000 - 100p

De kosten K (in euro) die men maakt bestaan uit vaste kosten (zoals huur) en variabele kosten (zoals transportkosten en productiekosten). De vaste kosten zijn €500000,- en de variabele kosten zijn €3800,- per Ipad.

Bereken de winst over de eerste maand bij een verkoopprijs van €3840.

140000

Bereken de maximaal haalbare winst over die eerste maand.

500000

De maximale gemiddelde winst per Ipad is gelijk aan €58,58, en die wordt bereikt bij een verkoop van 7071 stuks.

Toon dat aan.

Koen denkt dat, als door bezuinigingen de vaste kosten van €500000 terug kunnen worden gebracht naar €400000, dat dan dat geldvoordeel van €100000 zal worden verspreid over alle verkochte Ipads, dus dat de maximale gemiddelde winst zal toenemen met ¹⁰⁰⁰⁰⁰/₇₀₇₁ = €14,14 per Ipad.

Onderzoek of dat inderdaad het geval is.

NEE

12.

Een handelaar in CASIO rekenmachines wil graag alle rekenmachines verkopen die hij inkoopt.
Hij ontdekt dat de prijs die hij voor zijn machines kan vragen afhangt van hoeveel hij ervan in een week wil verkopen volgens p = 100 - 0,8q
De kosten die hij heeft bij een verkoop van q machines zijn in een week gelijk aan K = 0,001q³ + 0,4q+ 1000.

Als de handelaar een maximale winst nastreeft dan zal hij 56 machines per week inkopen.

Toon dat aan.

In de economie noemt men de productieomvang die zonder verlies tot de laagst mogelijke prijs leidt het bedrijfsoptimum.
Als de handelaar rekenmachines wil verkopen voor een zo laag mogelijke prijs zonder verlies te maken, dan hoeft hij alleen nog maar naar zijn kosten te kijken. Zolang een extra in te kopen rekenmachine minder kost dan de gemiddelde kosten bij de huidige inkoop, kan hij een extra machine inkopen.

Leg uit waarom bij het bedrijfsoptimum geldt dat de gemiddelde kosten gelijk zijn aan de marginale kosten.

Bereken het bedrijfsoptimum voor deze handelaar.

q = 79