parabolen


Parabool.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Natuurlijk ken je uit de onderbouw de parabool als "die grafiek van een kwadraatformule".
Maar een parabool is ook op een andere manier te bekijken. Het is namelijk de verzameling van alle punten in het vlak die gelijke afstand hebben tot een punt F (het brandpunt) en een lijn (de richtlijn).
In de figuur hiernaast betekent dat, dat die twee rode stippellijntjes even lang zijn voor elk punt P van de parabool.

Het bewijs daarvan laat ik achterwege. Als je het echt per se wilt weten moet je eerst deze les maar bekijken.

Maar als punt P even ver van V als van F af ligt, dan ligt P op de middelloodlijn van VF (de middelloodlijn bestaat immers uit alle punten die even ver van V als van F afliggen).
Kortom: P (die bij V hoort) is het snijpunt van de middelloodlijn van VF met de loodlijn vanuit V op de richtlijn.
Die eigenschap maakt het makkelijk om een parabool te tekenen, kijk maar:

In de volgende opgaven is het voldoende om de top T en één punt te tekenen, anders wordt het zo'n werk....

Raaklijneigenschappen.

Hiernaast zie je nog een keer de situatie van punt P op de parabool. De blauwe lijn m is dus de middelloodlijn van FV.

Bekijk een ander punt Q van lijn m.
Omdat Q op m ligt geldt QF = QV (eigenschap middelloodlijn)

Noem het voetpunt van Q punt V₂.
Dan geldt QV₂ < QV (driehoeksongelijkheid)
Dus is QV₂ < QF.
Dus kan Q niet op de parabool liggen.

Conclusie: het enige punt van m dat op de parabool ligt is punt P.
Dat betekent dat lijn m precies één punt met de parabool gemeenschappelijk heeft, dus dat het de raaklijn is!

De middelloodlijn van VF is de raaklijn aan de parabool.

Verder kun je aan driehoek VFP zien (die is gelijkbenig met hoogtelijn m) dat lijn m gelijke hoeken met VP en PF maakt.
Dat is de raaklijneigenschap van een parabool:

Een raaklijn aan een parabool maakt gelijke hoeken met PF en PV.

Maar dat heeft weer tot gevolg dat de twee hoeken die de groene lijnen hiernaast met de raaklijn maken gelijk zijn.

Omdat bij weerkaatsen van licht geldt dat `hoek van inval = hoek van weerkaatsing` zal een lichtstraal die loodrecht op de richtlijn van de parabool in punt P de parabool raakt na weerkaatsing door F gaan.
ALLE lichtstralen die loodrecht op de richtlijn op de parabool vallen zullen na weerkaatsing door F gaan. Dat is natuurlijk de reden dat schotelantennes een paraboolvorm hebben met in het brandpunt de `microfoon`. Alle golven die loodrecht binnenvallen verzamelen zich na weerkaatsen in het brandpunt.

OPGAVEN

1.	a.	In de linkerfiguur hieronder zie je een brandpunt en een richtlijn. Schets de parabool die daarbij hoort.
	b.	In de rechterfiguur hieronder zie je een parabool. Probeer zo nauwkeurig mogelijk het brandpunt en de richtlijn daarvan te tekenen.



2.	Examenvraagstuk Wiskunde B, 2002. In de figuur hiernaast is punt A een punt op de parabool p. De lijn r is de raaklijn aan p in het punt A. De lijn m is de as van p. Teken in deze figuur het brandpunt en de richtlijn van p. Licht je werkwijze toe.

3.	Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2006. Gegeven zijn een punt F en een lijn m. We bekijken alle parabolen met F als brandpunt die raken aan de lijn m. In de figuur hiernaast zijn twee voorbeelden getekend. Op de lijn m wordt een punt R gekozen. Zie onderstaande figuur. Teken in deze figuur de top van de parabool die F als brandpunt heeft en die m raakt in het punt R. Licht je werkwijze toe.



4.	Examenvraagstuk wiskunde, 2003. Gegeven zijn een lijn k en twee punten A en B op gelijke afstand van k en aan dezelfde kant van k. Zie de figuur hieronder.



	We verdelen het vlak waar A, B en k in liggen volgens het naaste-buur principe. De grenslijnen van deze verdeling zijn conflictlijnen. Teken in de figuur de conflictlijnen. Licht je werkwijze toe.

5.	Examenvraagstuk. Wiskunde B, 2005 Twee landen A en B worden gescheiden door een zee. De kustlijn van A is recht en loopt west-oost. De kustlijn van B maakt bij kaap K een hoek van 90º; een deel van de kustlijn loopt noord-zuid en een deel west-oost. De afstand tussen de kustlijnen die west-oost lopen is 40 km. Zie onderstaande figuur.



	Beide landen maken aanspraak op een deel van de zee. Ze vinden beide dat de strook tot 30 km uit de kust hen toebehoort. Voor een groot deel van de zee zijn de landen het erover eens van wie het is, maar een deel van de zee blijft betwist gebied. De zee zou verdeeld kunnen worden volgens het naaste-buur-principe. Teken in de figuur de hierbij behorende grenslijn. Licht je werkwijze toe.

6.	Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2009. In onderstaande figuur zijn een lijn k en twee punten A en B getekend. Verder zijn getekend de parabool p₁ met brandpunt A en richtlijn k en de parabool p₂ met brandpunt B en richtlijn k. De parabolen snijden elkaar in de punten D en E.



	D en E liggen op de middelloodlijn van AB.

	a.	Bewijs dit voor punt D.

	b.	Wanneer we het vlak verdelen tussen punt A, punt B en lijn k volgens het naaste-buurprincipe, spelen onder andere de parabolen p₁ en p₂ daarbij een rol. Geef in de figuur hierboven met verschillende kleuren of arceringen deze verdeling van het vlak aan.

	c.	Lijn AB snijdt lijn k in punt C. De lijn m gaat door C en raakt de parabool p₁ in punt R. Zie de figuur hiernaast. Er geldt: m is de bissectrice van een hoek tussen de lijnen k en AB.

7.	Hiernaast zie je de parabool y = -2x² + 4x met de raaklijn in het punt Q = (2,0) aan deze parabool Construeer de plaats van het brandpunt en van de richtlijn.

8.	Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2008. Een zee wordt begrensd door twee rechte kustlijnen: aan de ene kustlijn ligt land A, aan de andere land B. G is het gemeenschappelijke punt van de kustlijnen. In de zee ligt een ministaatje C dat we benaderen door een punt. Zie de figuur. De zee wordt verdeeld tussen A, B en C volgens het naaste-buurprincipe.

	a.	Teken in de figuur de grenzen bij deze verdeling. Licht je tekening toe.

	In de figuur hieronder is een drielandenpunt D getekend. Er geldt dus: DK = DL = DC. In deze figuur zijn de raaklijnen aan twee aanliggende stukjes grenslijn in D getekend. De grootte van de hoek tussen de twee raaklijnen noemen we b. De grootte van de hoek die de rechte kustlijnen met elkaar maken in G noemen we α.



	b.	Toon aan dat β = 90º - ¹/₂α

9.	Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2010.

	Hiernaast staat een cirkel c met straal 3 cm. Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten A, B, C en D waarvan A en D op c liggen en waarvan zijde BC raakt aan c, wordt de parabool p getekend met brandpunt M en richtlijn de lijn BC. Het midden van CD noemen we N. Zie de figuur hiernaast.

	Wanneer we D over c bewegen, komt er een situatie waarbij N op p ligt. Zie de onderste figuur hiernaast. In dat geval geldt: ∠CMD = 90° Bewijs dit.

10.	De raaklijn aan een parabool (met brandpunt F) in punt P snijdt de richtlijn in T. V is het voetpunt van P Toon aan dat de punten P, F, T en V op een cirkel liggen.

11.	Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2011.

	Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen k en m en een punt F, niet op m, zo dat de afstand van F tot k gelijk is aan de afstand van k tot m. We bekijken de cirkels die door F gaan en aan k raken. In onderstaande figuur zijn enkele van deze raakcirkels getekend. In elke raakcirkel is de middellijn vanuit F getekend. Elke middellijn heeft behalve F nog een tweede eindpunt op de raakcirkel. De tekening doet vermoeden dat deze eindpunten op een parabool met brandpunt F en richtlijn m liggen.



	In de figuur hiernaast is een van de raakcirkels getekend met middelpunt M, middellijn FX en raakpunt R. De loodlijn vanuit F op k en m snijdt k in G en m in H, dus FG = GH. Lijn FR snijdt m in S. Er geldt FR = RS

	a.	Bewijs dit.

	Uit FS = 2 • FR en FX = 2 • FM en ∠XFS = ∠MFR volgt de gelijkvormigheid van de driehoeken FXS en FMR (zhz). Met behulp van deze gelijkvormigheid kan bewezen worden dat XS loodrecht op m staat.

	b.	Bewijs op deze manier dat XS loodrecht op m staat.

	c.	Bewijs dat punt X inderdaad ligt op de parabool met brandpunt F en richtlijn m.


© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)