Snelheid.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Oké, we gaan terug naar het beeld van dat autootje dat over de kromme K rijdt; hiernaast over de kromme gegeven door:
Een voor de hand liggende vraag is natuurlijk: Wat is de snelheid van dit autootje?
Ofwel:  wat staat er op de kilometerteller?
We zagen eerder al dat je de snelheid van zo'n autootje kunt ontbinden in een snelheid vx in de x-richting en een snelheid vy in de y-richting:
 
 

Toen ontdekten we dat vx = x'(t) en  vy = y'(t)
En nu gaan we het omgekeerde uitvoeren: uit de berekende (via de afgeleides) snelheden vx en vy kun je de grootte van v berekenen.

Zie je al hoe? 

Bij het autootje rechts zal het hopelijk duidelijk zijn:  Pythagoras!!!     v2 = vx2 + vy2 , dus:
 
 
   
  OPGAVEN
1. a. Bereken de snelheid van het autootje over de kromme hierboven op t = 3
     
  b. Bereken algebraïsch de maximale snelheid van het autootje hierboven.
   
2. Punt P volgt een kromme K die eruit ziet als een lus. De plaats van punt P op tijdstip t  wordt gegeven door:
 
 

   
  Zie de figuur hiernaast.
  a. Geef de coördinaten van het hoogste punt van deze lus.

(4,8)
  b. Bereken de snelheid op t = 2

√20
  c. Onderzoek in welk punt van deze kromme de snelheid van punt P minimaal is.

(8.40, 10.56)
     
3. Een hyperbool is een bekende wiskundige figuur, die bestaat uit twee takken. Een parametervoorstelling van een hyperbool is bijvoorbeeld:

   
 

   
  Hiernaast zie je de bijbehorende figuur. Er geldt 0 ≤ t ≤ 2π
Laten we een punt P bekijken dat deze hyperboolbaan volgt.
   
  a. Bereken de snelheid van punt P op het punt waar t = 1/3π

√(28)
       
  b. In welke punten heeft P snelheid 2? Geef een algebraïsche berekening.

(1,0) (-1,0)
     
4. De volgende parameterkromme heet de "Heks van Agnesi" en komt uit een boek van Maria Agnesi uit 1748.
In het volgende plaatje zie je hoe de "heks" ontstaat: (het is de rode lijn)
(Ben jij trouwens ook zo nieuwsgierig waarom het een "heks" heet?)  
 
 

 
  Het paarse punt loopt met constante snelheid 1 van -∞ tot ∞  en geeft daarbij een blauw snijpunt met de cirkel (middelpunt (0, 1) en straal dus 1) door een lijn naar de oorsprong (zwart) te trekken. Het rode punt van de "heks" heeft de x-coördinaat van het paarse punt en de y-coördinaat van het blauwe. Op t = 0 is het paarse punt precies boven het zwarte. Een vergelijking bij de rode kromme is:
 

 
  a. De snelheid van punt P langs de rode kromme is minimaal in het punt in de top van de kromme
(dus bij t = 0). Beredeneer zonder berekeningen te maken waarom dat zo is.
       
  b. Bereken de snelheid van punt P op t = 1/2  in twee decimalen nauwkeurig.

1/25√881
       
  c. De grafiek van de snelheid van P als functie van t ziet eruit als hieronder.
Bereken de maximale snelheid van punt P.

1,19
   

 
5. Keeper Eddie Treijtel van Feijenoord schoot op 15 november 1970 tijdens de wedstrijd Sparta-Feijenoord  met een verre uittrap een meeuw uit de lucht! De meeuw viel dood op het veld neer. Sparta heeft de echte meeuw in het Sparta-museum ondergebracht (ook Feijenoord stelt een meeuw tentoon in zijn museum, maar dat is volgens natuurbeheer een meeuw die bij ons alleen voorkomt in de lente!).
De situatie was zoals hiernaast schematisch weergegeven.
Diepgaande analyse leerde dat de baan van de bal werd gegeven door:


 

  Daarin zijn x en y in meters en t in seconden
Bereken de snelheid van de bal op het moment dat hij de meeuw raakte als dat gebeurde toen de bal voor het eerst op een hoogte van 9,8 meter was.
   

7,53 m/s
     
6. Gegeven is de volgende parameterkromme:  
x(t) = 0,5 • t • cos(πt)  en  y(t) = 0,5 • t • sin(πt)
Het domein voor t is  [0, 4]
     
  a. Schets de grafiek van deze kromme. Het blijkt dat de kromme de positieve y-as snijdt in twee punten A en B. Bereken de afstand AB.
       
  b. Als deze kromme de plaats van een punt op tijdstip t  (in seconden) weergeeft, bereken dan de snelheid van dat punt op t = 2
       
  c. Als we als domein niet [0,4] hadden gekozen, maar [-4,0] dan hadden we een andere grafiek gekregen. Leg duidelijk uit hoe deze tweede grafiek ontstaat uit de eerste. Leg ook duidelijk uit hoe je dat aan de formules voor x(t) en y(t) kunt zien.
       
7. Punt P doorloopt een kromme K die gegeven wordt door:
x(t) = -t2 + 2t   en   y(t) = t2 - 4t + 3
Daarin is t de tijd in seconden.

     
  a. Geef een vergelijking van de raaklijn aan K in het punt waarvoor t = 0
     
  b. Bereken exact de minimale baansnelheid van P.
     
  c. Bereken de lengte van het lijnstuk dat kromme K van de lijn y = x + 11 afsnijdt.
       
8. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2002

De beweging van een punt in het Oxy vlak wordt voor 
0 ≤ t ≤ 2π gegeven door:

     
 

     
  In de figuur hiernaast is de baan van het punt getekend.
       
  Bereken de exacte snelheid van het punt op het tijdstip t = 0
     

17
       
9. De bewegingsvergelijkingen:

(met 0 ≤ t ≤ 2π) beschrijven de baan van een bewegend punt. Deze baan heeft precies vier punten met de y-as gemeen.
       
  a. Bereken de coördinaten van deze punten.
     

(0, ±1)(0,± 1/2)
  Tijdens de beweging verandert de snelheid van het punt voortdurend. De hoogste snelheid die het punt kan bereiken wordt enkele malen bereikt. Als je de beweging op de GR simuleert lijkt het alsof deze hoogste waarde bereikt wordt bij het passeren van de y-as.
       
  b. Onderzoek of dat inderdaad het geval is.
       
10. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2003

De baan van een punt P wordt bepaald door de volgende bewegingsvergelijkingen:
 
  zie de figuur hiernaast.

     
  a. Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de x-as.
   

(±1/2√3,0) (±1/2,0)
  b. P passeert de y-as steeds met dezelfde snelheid.
Bereken de exacte waarde van deze snelheid.
   

√2
  Op het tijdstip t = a bevindt het punt P zich in A en op het tijdstip t = π - a in B, met  0 < a < 1/2π.
A en B liggen op een verticale lijn. Zie de figuur hiernaast.
     
  c. Bewijs dat de lengte van AB gelijk is aan sin 2a
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)