omwentelen parameterkromme

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Omwentelen van een parameterkromme.

N.B.
Voordat je deze les kunt volgen moet je wel eerst de lessen over het omwentelen van een "gewone" functie hebben gelezen (en gesnapt). Als je dat inderdaad hebt gedaan, dan is er nu niet zo heel veel nieuws te beleven. Eigenlijk is de rode draad : "Gewoon alles omzetten naar t' s".
Laten we de verschillende mogelijkheden maar langslopen....

1. Inhoud van een omwentelingslichaam om de x-as

Dat was het plaatje hiernaast, en daarbij hoorde de formule:

Voor y vul je nu de y(t)-formule in. Je kunt de dx in dt veranderen door te bedenken dat dx = x'(t)dt
Zorg er wel voor dat de t-grenzen zodanig zijn dat het deel dat je wilt omwentelen precies één keer doorlopen wordt!!!!

Voorbeeld 1.

De parameterkromme x(t) = cos(2t) en y(t) = sint staat hiernaast geschetst. Het is een parabool. Als je die parabool om de x-as wilt wentelen, dan moet je bijvoorbeeld alleen dat stuk tussen (-1, 1) en (1,0) wentelen.
Dat zijn de t-waarden van bijvoorbeeld ¹/₂π tot π.
• y = sint
• dx = x'(t) dt = -2sin(2t)dt
Dat geeft dus voor de inhoud:

De GR geeft een inhoud van ongeveer 3,1415927..... Hé! Grappig!! Dat zal wel π zijn!
(een bewijs vind je hiernaast, maar maak je daar niet al te druk over; daar gaat het in deze les eigenlijk niet om)

2. Inhoud van een omwentelingslichaam om de y-as

Dan heb je natuurlijk precies zo'n plaatje, maar dan zijn x en y verwisseld. Dat geeft dan:

en op precies dezelfde manier als hierboven kun je daar allemaal t's van maken.

3. Oppervlakte van een omwentelingslichaam.

Dat was het plaatje hiernaast.
Je verdeelde dan die oppervlakte in allemaal ringen.
De omtrek ervan is 2πy dat is makkelijk.

Maar de breedte was lastiger, dat was een scheef stukje dB:

Pythagoras geeft: dB = √(dx² + dy²)
Maar dx = x'(t)dt en dy = y'(t)dt

Al die strookjes (met elk oppervlakte 2πydB) optellen geeft natuurlijk weer een integraal:

Het zal je wel niet verbazen dat bij wentelen om de y-as precies een zelfde formule geldt, alleen nu met daar onder die integraal x(t) in plaats van y(t). Dat scheve stukje dat is natuurlijk precies hetzelfde....

Voorbeeld 1. maar nu de oppervlakte.

De oppervlakte van de paraboloïde hierboven wordt dan:

x'(t) = -2sin(2t)dt
y'(t) = cost

Mijn GR geeft 1,9608236...

OPGAVEN

Een parameterkromme wordt gegeven door x(t) = cos³ten y(t) = sin³t

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat als deze kromme wordt gewenteld om de x-as.

Bereken de oppervlakte van het omwentelingslichaam dat ontstaat als deze kromme wordt gewenteld om de x-as.

7,54

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2001

De kromme K is gegeven door: x(t) = t² - 2t en y(t) = ln│t│

Hiernaast is kromme K getekend.
K snijdt de x-as in de punten A en B.

Bereken de hoeken die K maakt met de x-as in de punten A en B. Geef de antwoorden in graden nauwkeurig.

V is het vlakdeel ingesloten door K en de coördinaatassen. V is in de figuur aangegeven. V wordt gewenteld om de y-as.

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat