Pythagoras strikes again!!

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
De stelling van Pythagoras is natuurlijk nog wel uit de onderbouw bekend. (zo niet, dan moet je eerst dit doornemen)
In deze les zullen we wat interessantere  (lees: "moeilijkere") toepassingen van deze stelling bekijken.
   
1.  Onbekenden .
   
Soms ken je niet eens twee zijden van een rechthoekige driehoek, maar kun je toch Pythagoras toepassen als je één of ander extra gegeven weet te vinden. Dat klinkt waarschijnlijk nogal vaag, maar de volgende voorbeelden zullen wel duidelijk zijn. Het gaat er steeds om dat je iets eerst "x" noemt, en dan de lengte van de onbekende zijden met de letter x gaat opschrijven.
   
Voorbeeld 1.

Je geo-driehoek is symmetrisch en heeft een schuine zijde van 15 cm. Bereken met Pythagoras de lengte van de andere twee zijden.

Die andere zijden zijn even lang. Stel dat ze beiden lengte x hebben.
Dan geldt  x2 + x2 = 152 
2x2 = 225  ⇒  x2 = 112,5  ⇒  x = √112,5 ≈ 10,6

   
Voorbeeld 2.

Een  Mercedes begint vanaf een bepaal punt naar het oosten te rijden.
Tegelijkertijd begint een BMW vanaf hetzelfde punt naar het noorden te rijden.
De BMW rijdt 15 km/uur sneller dan de Mercedes.
Na 1 uur zijn de auto's precies 100 km van elkaar verwijderd. Hoe snel rijdt de Mercedes?

Stel dat de Mercedes x km/uur rijdt, dan rijdt de  BMW  (x + 15)  km/uur.
Pythagoras na een uur geeft dan   x2 + (x + 15)2 = 1002
dus  x2 + x2 + 30x + 225 = 10000 ⇒ 2x2 + 30x - 9775 = 0
De ABC formule geeft dan x ≈ 62,8 km/uur

   
2. Pythagoras bij cirkels.  
   
WÁÁÁÁÁT?
Bij Cirkels???
Dat zijn toch die ronde dingen???
Daar is geen rechte hoek aan te bekennen!!!!
Zal wel een vergissing zijn......

Maar toch is dat niet zo. Bij cirkels zijn juist opvallend véél rechte hoeken te vinden. Als je maar goed zoekt!
Dat zit hem in de drie plaatjes hieronder.  
   
Plaatje 1.

In dit plaatje zie je een lijn getekend die "tegen een cirkel aanligt".  Zo'n lijn heet een raaklijn.
Nou is het zo dat de raaklijn in punt P van de cirkel altijd een rechte hoek maakt met de lijn vanaf P naar het middelpunt.

   
Plaatje 2.

Als je een driehoek maakt met een middellijn van de cirkel en verder een willekeurig punt P op de cirkel, dan is de hoek bij dat punt P altijd 90º.
Dit is de beroemde "Stelling van Thales".
Denk er goed om dat het alleen geldt voor een middellijn van de cirkel!!!

(Het bewijs van deze stelling is nogal lastig en krijg je misschien later nog wel eens als we het gaan hebben over "bewijzen")

   
Plaatje 3.

Als je twee willekeurige punten P en Q op een cirkel kiest, dan zijn de afstanden MQ en MQ gelijk (namelijk beiden de straal van de cirkel). Dat betekent dat driehoek MPQ gelijkbenig is, dus een lijn van M naar het midden van PQ staat loodrecht op PQ. Dat geeft twee rechthoekige driehoeken en dus Pythagoras.

   
Deze drie eigenschappen maken het mogelijk bij cirkels heel vaak driehoeken te tekenen met een rechte hoek, en daar dan Pythagoras op los te laten. Kijk maar:
   
Voorbeeld 3.

Twee cirkels hebben hetzelfde middelpunt en de afstand tussen beide cirkels is 1 cm. Een lijn tussen de punten P en Q van de buitenste cirkel raakt de binnenste.
Bereken de straal van de cirkels.

De lijn MR van M naar het raakpunt staat loodrecht op PQ immers het is de hoogtelijn van de gelijkbenige driehoek MPQ.
Omdat RQ = 0,5PQ = 3 kun je Pythagoras in MRQ toepassen.
Als MR = x dan is  MQ = x + 1.
x2 + 32 = (x + 1)2  geeft  x2 + 9 = x2 + 2x + 1  dus  x = 4.
De cirkels hebben dus straal 4 en 5.

   
Voorbeeld 4.

Twee cirkels gaan door elkaars middelpunt. Toon aan dat driehoek PQR hiernaast dan gelijkzijdig is.

Omdat M1P = M2P = M1M2  = straal van de cirkels is driehoek M1M2P gelijkzijdig, dus heeft hoeken van 60º.
Dan is hoek M2PQ = 30º  (helft van M1M2P).
Maar omdat  RPM2 gelijk is aan 90º (Thales) is RPQ dus 60º.
Maar dan is RQP óók 60º (symmetrie) en dus PRQ ook.

   
 
  OPGAVEN
 
1. Hiernaast zie je een afbeelding van de plasma TV LG 42PQ6000.
De diameter van deze TV is 107 cm.
Verder hebben zulke plasma-TV's altijd dezelfde verhoudingen tussen lengte en breedte, namelijk  16 : 9.
Dat komt omdat het scherm 1920 × 1080 pixels is (een pixel is een klein vierkant blokje).

Bereken de oppervlakte van het scherm van deze TV.

     

4892 cm2
     
2. Bereken het vraagteken in de figuur hiernaast.

     

35
     
3. De gele knikkertegel hiernaast is een tegel met een putje erin.
Kleine Karel heeft een balletje dat precies het putje helemaal op kan vullen.
De diameter van het putje is aan de bovenkant 10 cm en het putje is op zijn diepste punt (in het midden dus) 3 cm diep.

Hoe groot is de straal van het balletje van Kleine Karel?

     

52/3 cm
       
4. Iemand wil met een schuifmaat de diameter van een buis bepalen, maar helaas; zijn schuifmaat is te klein en past niet helemaal om de buis heen (zie figuur).

Bereken uit de afmetingen in deze figuur de diameter van de buis.

 

     

831/3
     
5. Bereken de straal van de middelste cirkel.

     

15
       
6. Vier gelijkzijdige driehoeken met zijden 1 zijn als in de figuur hiernaast tegen elkaar aan gelegd.

     
  Bereken de lengte van de rode diagonaal.
   

√7
     
       
7. Hiernaast zie je een cirkel met straal 6 waarin een vierkant is geplaatst. Het middelpunt M van de cirkel ligt op een zijde van het vierkant.

Bereken de oppervlakte van dit vierkant.

     

28,8
       
8. Een bowlingbal met straal 10 cm rolt tussen twee rails door die 16 cm uit elkaar liggen.

Hoe vaak draait de bal rond om 30 meter af te leggen?

     

79,58 keer
       
9. Olympiadevraagstuk.
Van twee cirkels met straal 4 en 5 is de horizontale afstand tussen de middelpunten 41.
Een binnenraaklijn is een lijn die je tussen de cirkels kunt tekenen die beide cirkels raakt. Hieronder is een mogelijkheid getekend.

Bereken de afstand tussen beide raakpunten.
       
 

     

40
       
10. Hiernaast zie je een halve cirkel met straal 8, en daarin twee halve cirkels met straal 4.
Bereken de straal r van de cirkel die alle drie deze cirkels raakt.

     

22/3
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)