Een Randwandeling.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
       
Dat gedoe met die niveaulijnen om een maximum of minimum te vinden is natuurlijk heel aardig en leuk, en je begrijpt prima wat er aan de hand is, maar het kan ook op een saaiere manier, die misschien ook wel iets betrouwbaarder is....

Kijk, je hebt in de vorige les vast al wel ontdekt dat de plaats van zo'n maximum/minimum van een doelstellingsfunctie altijd in één van de hoekpunten van het toelaatbare gebied ligt.
De saaie oplossing is daarom:
       

Bereken de doelstellingsfunctie in alle hoekpunten
       
Hier zie je nog eens dat toelaatbare gebied met de vergelijkingen:

(1):  S + L = 18000
(2):  L = 10000
(3):  S - L = 5000
(4):  L - S = 5000
(5):  S = 0

De vijf hoekpunten heb ik A, B, C, D en E genoemd.
Uit de bovenstaande vergelijkingen kun je makkelijk de coördinaten van deze punten berekenen.
Dat geeft A(-5000,.0) en B(5000,0) en C(10000, 5000) en D(10000, 8000) en E(6500, 11500)

       
De doelstellingsfunctie was R = 0,02L + 0,08S  en die berekenen we gewoon in al die vijf hoekpunten:
       
hoekpunt (L,S) A(-5000,0) B(5000,0) C(10000,5000) D(10000,8000) E(6500, 11500)
R = 0,02L + 0,08S €-100 €100 €600 €840 €1050
       
En nu zie je direct dat hoekpunt E de maximale winst van  €1050 oplevert.
Zonder niveaulijnen.
Zo kan het ook.
Deze manier heet een randwandeling. Je wandelt als het ware het gebied rond en berekent in alle hoekpunten de doelstellingsfunctie.
       
En als twee hoekpunten dezelfde waarde geven?
       
Dat zou kunnen gebeuren (alhoewel het wel erg toevallig zou zijn). Als die twee hoekpunten (noem ze P en Q) dan ook nog het gezochte maximum/minimum zijn, dan betekent dat, dat alle punten van lijnstuk PQ diezelfde maximale waarde opleveren. Er zijn dan oneindig veel mogelijke oplossingen van het probleem.

Dat is natuurlijk zo als de niveaulijnen evenwijdig aan PQ lopen, immers als je die dan verschuift loopt de "laatste niveaulijn" precies over rand PQ.

Voorbeeld.
Hoe moet de bank in bovenstaand voorbeeld de rente op de lopende rekening (dat was dat getal 0,02 uit de doelstellingsfunctie) verhogen zodat heel lijnstuk ED oplossingen geeft (in plaats van alleen punt E)?

Nou, noem die nieuwe rente p, dan wordt de doelstellingsfunctie R = p • L + 0,08 • S
Die moet in de punten E(6500, 11500) en  D(10000, 8000) dezelfde waarde opleveren.
De coördinaten invullen geeft:
RE = 6500p + 0,08 • 11500
RD = 10000p + 0,08 • 8000
Gelijkstellen geeft dan:  6500p + 0,08 • 11500 = 10000p + 0,08 • 8000  ⇒  p = 0,08
Dus als de bank op beide rekeningen 8% rente geeft dan is de maximale rente €1440 en die wordt overal op lijnstuk ED bereikt.
       
           
  OPGAVEN
           
1. Een fabrikant produceert kippenvoer. Per zakje voer garandeert de fabriek een inhoud van minstens 60 gram proteïne en 0,1 gram vitamines en 5,2 gram mineralen.
De fabriek maakt het voer uit sojabonen en graan in een menging die afhangt van de inkopprijs van deze twee grondstoffen.
           
 
  per gram sojabonen per gram graan
proteïne 0,1 gram 0,3 gram
vitamine 0,0004 gram 0,0002 gram
mineralen 0,01 gram 0,02 gram
           
  Sojabonen kosten 40 eurocent per kg, graan kost 30 eurocent per kg.
           
  a. Stel dat de fabrikant voor een zakje x gram sojabonen en y gram graan gebruikt.
Teken dan het toelaatbare gebied dat bij dit probleem hoort, en bereken in welke verhouding de fabrikant de stoffen moet mengen als de kosten zo laag mogelijk moeten zijn.
           
  b. Door een misoogst stijgt de prijs van sojabonen. De prijs van graan blijft ongewijzigd. Vanaf welke prijs voor de sojabonen zal de fabrikant de inhoud van zijn zakjes gaan veranderen?
           
2. De examenklas van dit jaar besluit een knallend feest te gaan geven. Omdat een aantal mensen nogal weinig vertrouwen in de uitslag heeft besluiten ze maar om het feest al vóór de diploma-uitreiking te houden. Dan wordt in ieder geval het féést geslaagd...
Men besluit er een wilde avond van te maken: de feestcommissie besluit maar liefst twee soorten frisdrank te gaan verkopen. En alsof dat nog niet genoeg is: ze gaan het zelf persen!
Ze halen daarvoor bij de veilinghallen voor  €200,- fruitafval:  2000 sinaasappelen en 600 abrikozen en 500 perziken.
Daarvan gaan ze twee drankjes maken:  de drank ABRINAS bestaat uit 1 abrikoos en 5 sinaasappelen per glas. De drank PERZINOOS zal bestaan uit twee perziken, 4 sinaasappelen en 2 abrikozen per glas.
Abrinas gaat €1,- per glas kosten, en  Perzinoos  €1,10
           
  a. Teken het toelaatbare gebied dat bij dit probleem hoort en bereken hoeveel geld de feestcommissie maximaal binnen kan krijgen.
           
  b. Als men het overgebleven fruit na afloop van het wilde feest nog aan een veeboer voor 2 eurocent per stuk kan verkopen, hoe verandert dan de doelstellingsfunctie van de vorige vraag?
           
3. De ME afdeling Groningen krijgt een oproep in verband met ernstige ongeregeldheden bij de Euroborg, het stadion van FC Groningen. Er zijn binnen 2 uur  288 ME-ers nodig met hun 2200 kg materiaal. Er zijn echter op het moment slechts twee busjes beschikbaar. Busje A kan per keer 16 mannen en 40 kg materiaal vervoeren, en busje B per keer 6 mannen en 200 kg materiaal. Verder kan busje A in een uur 20 keer op en neer rijden, en busje B 16 keer.
           
  a. Teken een toelaatbaar gebied bij dit probleem.
           
  b. Busje A kost per keer rijden €10,- en busje B slechts €4,-. Hoe kan het vervoer zo goedkoop mogelijk plaatsvinden?
           
4. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2002.

Een speelgoedfabrikant maakt houten poppenhuizen en houten treinen. Voor het vervaardigen van het speelgoed onderscheiden we drie soorten arbeid: zagen, timmeren en verven. Het aantal minuten dat hiervoor nodig is vind je in onderstaande tabel.
           
 
soort arbeid tijd (in minuten) nodig
per poppenhuis		 tijd (in minuten) nodig
per trein
zagen 24 15
timmeren 60 40
verven 40 10
           
  Er is één personeelslid belast met zagen, twee met timmeren en één met het verven.
Elk van deze vier personeelsleden kan maximaal 40 uren per week werken.

Het aantal poppenhuizen dat per week gemaakt wordt geven we aan met x. Het aantal treinen dat per week gemaakt wordt geven we aan met y.
Op grond van bovenstaande gegevens kunnen we voor deze variabelen de volgende beperkende voorwaarden opstellen:
 
I 8x + 5y ≤ 800
II 3x + 2y ≤ 240
III 4x + y ≤ 240
IV x ≥ 0
V y ≥ 0
           
  a. Toon aan dat voorwaarde II volgt uit de gegevens.
           
  We gaan er in deze opgave van uit dat de kosten voor het maken van het speelgoed bestaan uit materiaalkosten en arbeidskosten. Aan materiaal kost een poppenhuis 17 euro en een trein ook 17 euro. Ieder personeelslid kost 30 euro per gewerkt uur. Alleen voor de gewerkte uren wordt het personeel betaald.

Alle exemplaren die in een week worden gemaakt worden nog in diezelfde week verkocht. De poppenhuizen worden verkocht voor 97 euro per stuk, de treinen voor 58,50 euro per stuk.

De winst in euro's die wekelijks op het speelgoed wordt gemaakt geven we aan met W.
           
  b. Toon aan dat voor W de volgende formule geldt:  W = 18x + 9y
           
  De grenslijnen die horen bij de beperkende voorwaarden zijn getekend in de figuur hieronder. Het toegestane gebied is grijs gemaakt.
           
 

           
  c. Bereken de maximale winst die wekelijks kan worden behaald. Gebruik daarbij zonodig de figuur hierboven.
           
  Degene die met zagen belast is noemen we hierna de zager.
In de figuur hierboven ligt de grenslijn die op het zagen betrekking heeft geheel buiten het toegestane gebied. Dus in de gegeven omstandigheden kunnen er nooit zoveel poppenhuizen en treinen gemaakt worden dat er voor de zager 40 uren werk per week is.
De zager kan ook heel aardig verven. Hij doet dat net zo vlot als degene die dat normaal doet. Men besluit dat de zager een aantal uren per week beschikbaar moet zijn om te verven. Dit aantal uren noemen we d. Gedurende die tijd is hij niet beschikbaar voor het zagen.
Als gevolg hiervan veranderen de beperkende voorwaarden I en III in:
I:     8x + 5y ≤ 800 - 20d
III:  4x + y ≤ 240 + 6d
De andere drie voorwaarden blijven hetzelfde.

Het hangt nu van de keuze van d af hoe het toegestane gebied eruit ziet.
           
  d. Onderzoek of het mogelijk is d zodanig te kiezen dat het toegestane gebied uitsluitend begrensd wordt door de lijnen x = 0, y = 0 en de grenslijn die betrekking heeft op het timmeren. Gebruik zonodig de figuur hierboven.
           
5. Examenvraagstuk 2006.
De gemeente Vlissingen wil woningen en winkels laten bouwen op een terrein van 1 000 000 m2
  De gemeentelijke planologische dienst gaat dit project ontwerpen. Dit project zal aan enkele voorwaarden moeten voldoen:

Verdeling.

  • Voor elke m2 woonoppervlak moet 1 m2 'tuin' extra gereserveerd worden voor de woningen. Dus voor elke m2 woonoppervlak wordt 2 m2 grond in gebruik genomen.
  • Voor elke 50 m2 winkeloppervlak moet 20 m2 extra voor parkeerplaatsen worden bestemd.
  • Om ruimte te hebben voor openbare groenvoorzieningen en wegen mag het totale grondoppervlak voor woningen (inclusief tuin) plus het totale grondoppervlak voor winkels (inclusief parkeerplaatsen) samen ten hoogste 60% van het totale oppervlak beslaan.
           
  Verontreiniging.
  • Voor 1 m2 woonoppervlak rekent men 40 eenheden verontreiniging en voor 1 m2 winkeloppervlak rekent men 4 eenheden verontreiniging
  • In totaal is maximaal 3 000 000 eenheden verontreiniging toelaatbaar.
           
  Regionale functie.
Omdat het gebied een regionale winkelfunctie moet krijgen, eist de gemeente dat het aantal m2 winkeloppervlak ten minste gelijk is aan 50 000 m2 plus vier maal het aantal m2 woonoppervlak.

Noem het aantal m2 woonoppervlak x  en het aantal m2 winkeloppervlak y. Naast de beperkende voorwaarden x ≥ 0 en y ≥ 0 gelden nu ook de voorwaarden:
  (1) 2x + 1,4y ≤ 600 000      
  (2) y - 4x ≥ 50 000      
  (3) 10x + y ≤ 750 000      
           
  a. Laat zien hoe de voorwaarden (1), (2) en (3) uit bovenstaande gegevens volgen.
           
  Nog een aspect van het project waar een voorwaarde uit voortvloeit, wordt gevormd door de kosten.

Kosten.
  • Het hele project mag niet meer dan 400 miljoen euro kosten.
  • De bouw van 1 m2 woonoppervlak kost 2400 euro.
  • De bouw van 1 m2 winkeloppervlak kost 800 euro.
           
  Op grond van de gegevens over de kosten kun je de beperkende voorwaarde (4) opstellen.
           
  b. Stel deze beperkende voorwaarde op.
           
  In de figuur hiernaast zijn de grenzen van de vier beperkende voorwaarden getekend.

Met behulp van deze figuur is in te zien dat één van de vier beperkende voorwaarden eigenlijk overbodig is.

     
  c. Welke van de vier beperkende voorwaarden is overbodig? Licht je antwoord toe met behulp van de figuur.
     
  De gemeentelijke planologische dienst wil zo veel mogelijk m2 woonoppervlak realiseren.
     
  d. Onderzoek hoeveel m2 het totale grondoppervlak voor woningen (inclusief tuin) plus het totale grondoppervlak voor winkels (inclusief parkeerplaatsen) in dat geval zal beslaan.
           
6. Een aannemer gaat twee soorten woningen bouwen, type A en type B. De woningen zijn nogal verschillend.
Een woning van type A kost 1000 manuren metselwerk, 800 manuren timmerwerk en 200 manuren "overig" werk.
Een woning van type B kost 1500 manuren metselwerk, 1000 manuren timmerwerk en 600 manuren "overig" werk.
De aannemer heeft metselaars aangenomen voor maximaal 60000 manuren. Timmerlui voor maximaal 44000 manuren en overige bouwvakkers voor maximaal 21000 manuren.

De aannemer mag zelf beslissen hoeveel woningen hij van elk type gaat bouwen.   
           
  a. Stel de beperkende voorwaarden op en teken het toelaatbare gebied.
           
  Op type A maakt de aannemer een winst van €5000,- en op type B een winst van €10000,-
           
  b. Teken een paar isolijnen en bepaal daarmee bij welke productie de aannemer maximale winst maakt.
           
  c. Stel dat de winst op type A gelijk blijft, maar dat de winst op type B gaat dalen.
Vanaf welke winst op type B woningen is het voor de aannemer verstandiger om alleen nog maar type A woningen te gaan bouwen?
           
7. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1988.

In een ziekenhuis wordt een ziekte bestreden met een kuur.
Hiertoe ontwikkelde dit ziekenhuis de geneesmiddelen R1 en R2. Aan elke patiënt wordt 600 milligram R1 en 190 milligram R2 toegediend. Deze geneesmiddelen kunnen zowel uit grondstof A als uit grondstof B worden gefabriceerd. Elke kilogram A levert 60 milligram R1 en 10 milligram R2 op; elke kilogram B levert 30 milligram R1 en 15 milligram R2 op.
           
  a. Bereken hoeveel kilogram grondstoffen (A en B samen) per patiënt minimaal nodig is.
           
  De prijs van A is f 15,- per kilogram, de prijs van B is aan schommelingen onderhevig. Men streeft naar minimale inkoopkosten per patiënt.
           
  b. Bereken bij welke prijzen van B men de geneesmiddelen R1 en R2 uitsluitend uit grondstof A zal fabriceren.
           
8. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1991.

Een  gemeentebibliotheek koopt elk jaar nieuwe boeken. Hiervoor is voor 1992 een bedrag van  f105.000,- beschikbaar.  In een vergadering van de hoofden van de drie afdelingen (jeugdboeken, romans, studieboeken) moet afgesproken worden hoe het bedrag over deze drie afdelingen zal worden verdeeld.

Mevrouw Jansen. hoofd van de afdeling jeugdboeken, stelt voor in totaal zoveel mogelijk nieuwe boeken aan te schaffen. Wel moet aan een aantal eisen voldaan zijn. Zij noemt:
  1. de afdeling jeugdboeken en de afdeling romans moeten elk minstens 1200 boeken kunnen aanschaffen.
  2. de afdeling studieboeken moet minstens 400 boeken kunnen aanschaffen.
  3. de afdeling jeugdboeken krijgt niet meer geld dan de afdeling romans.
  4. de afdeling jeugdboeken krijgt niet meer dan drie keer het bedrag van de afdeling studieboeken.
           
  Bij het doorrekenen van haar voorstel gaat men van de volgende gemiddelde prijzen uit: f15,- voor een jeugdboek, f24,- voor een roman en f30,- voor een studieboek.
Verder stelt men de bedragen voor de afdelingen jeugdboeken, romans en studieboeken
achtereenvolgens j, r en 105000 - j - r
Uit de bovengenoemde eisen volgen vijf beperkende voorwaarden in j en r.
           
  a. Stel deze vijf voorwaarden op en teken in een rechthoekig assenstelsel Ojr het gebied waarin aan deze voorwaarden wordt voldaan.
           
  b. Bereken hoeveel boeken elke afdeling kan aanschaffen als het voorstel van mevrouw Jansen zou worden uitgevoerd.
           
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)