toenamendiagram


Veranderingen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Deze keer gaan we niet kijken hoe groot een y bij een bepaalde x is, maar hoe snel de y verandert als x verandert.

Neem een willekeurige grafiek, zoals die hiernaast.
Begin bij x = 0 en neem nu steeds stapjes van 1 opzij. Houd elke keer bij hoeveel de y is toegenomen vanaf de vorige.
Die toename van y heet Δy en is in de figuur hiernaast met de rode lijnstukjes aangegeven.

Omdat we niet geïnteresseerd zijn in de hoogte van de grafiek, maar alleen in de toename (dus het hoogteverschil), laten we al die rode lijnstukjes naar beneden vallen en tekenen we ze op gelijk hoogte vanaf de x-as.
Dat is hieronder gebeurd. Let erop dat in die laatste grafiek nu op de y-as niet y staat maar Δy. Deze laatste grafiek geeft dus aan hoeveel de oorspronkelijke toeneemt (negatief als hij afneemt). Zo'n grafiek heet daarom een toenamendiagram.

Die laatste stokjes geven dus aan hoeveel de functie is veranderd vanaf de vorige x. Omhoog betekent toegenomen, omlaag betekent afgenomen. De vraag die we hierboven hebben beantwoord is de volgende:

"Teken een toenamendiagram van f(x) op interval [0,8] met stapgrootte 1"

Het interval geeft aan van welke x tot welke x je moet gaan, de stapgrootte geeft aan...nou ja, de stapjes Δx natuurlijk.

Berekening.

De lengte van de staafjes is natuurlijk te berekenen als je een formule voor f(x) hebt.
De grafiek hierboven heeft als functievoorschrift f(x) = ¹/₂x³ - 6x² +17x + 10
Voor het berekenen van een toenamendiagram maken we een tabel met x, y en Δy :

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8
y	10	21,5	24	20,5	14	7,5	4	6,5	18
Δy	-	+11,5	+2,5	-3,5	-5,5	-6,5	-3,5	+2,5	+11,5

De laatste rij geeft de lengtes van de "stokjes". Je ziet dat dit nauwkeuriger is dan uit een grafiek aflezen (onze "tekening" hierboven klopt niet helemaal).

1.	a.	Gegeven is de functie f(x) = 3√(x + 4). Teken een toenamendiagram met stapgrootte 1 op interval [0, 8]
	b.	Gegeven is de functie f(x) = ¹²/_{(x + 4)}^.Teken een toenamendiagram met stapgrootte 2 op interval [0, 12]
	c.	Gegeven is de functie f(x) = x² + x + 2. Teken een toenamendiagram met stapgrootte 1 op interval [-4, 4] Wat valt je op?

2.	Hiernaast staat het toenamendiagram van een functie f. Schets een mogelijke grafiek voor deze functie, als je weet dat hij door (0,4) gaat.

3.	Hiernaast staat het toenamendiagram van een functie f met stapgrootte 1.

	a.	Teken het toenamendiagram dat bij deze functie hoort met stapgrootte 2.

	b.	Teken een mogelijk toenamendiagram dat bij deze functie hoort met stapgrootte 0,5.

4.	a.	Wat kun je over het toenamendiagram van een functie zeggen op de plaats waar de functie een maximum heeft?

	b.	Wat kun je over de grafiek van een functie zeggen op de plaats waar het toenamendiagram een positief maximum heeft?

5.	Teken mogelijke grafieken bij de toenamendiagrammen hieronder.

STIJGING en DALING

Stijgen en dalen is makkelijk aan een grafiek af te lezen; dan gaat hij omhoog of omlaag.

Kijk, iedereen snapt natuurlijk best wat stijgend zijn van een grafiek nou eigenlijk betekent. Net zoals de meneer links.
Toch wil een wiskundige dat graag wat preciezer en formeler vastleggen. Om elke kans op misverstanden te voorkomen.
Daarom zegt een wiskundige:

f(x) is stijgend:	x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) > f(x₁)
f(x) is dalend:	x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) < f(x₁)

Kijk toch even of je inderdaad snapt wat hier nou eigenlijk staat....
(er moet trouwens eigenlijk nog bij staan dat die regels voor elk paar x₁, x₂ moeten gelden)

Ook aan een toenamendiagram is stijging of daling van de grafiek zelf makkelijk te zien: als de grafiek stijgt is het toenamendiagram boven de x-as, als de grafiek daalt ligt hij eronder.

STIJGENDE STIJGING?

Maar ook die stijging zélf kan natuurlijk toenemen (sterker worden) of afnemen (minder sterk worden). En ook de daling. Iets dat daalt kan nou eenmaal harder of minder hard gaan dalen toch?

We kunnen zodoende vier gevallen onderscheiden:

Men noemt een grafiek ook wel "BOL" als het toenamendiagram daalt. Bij welke van de vier hierboven genoemde vormen is dat zo?

Gegeven is de functie

Onderzoek met een toenamendiagram voor welke waarden van t de grafiek van deze functie toenemend stijgend is.
Neem interval [0, 30] en stapgrootte 2.

Gegeven is de functie f(x) = x³ - 22x² + 140x - 150
Onderzoek met een toenamendiagram de soorten stijging en daling van de grafiek van f.
Beperk je voor x-waarden tussen 0 en 15.

In een groot meer wordt vis gekweekt, vooral spiering. De totale hoeveelheid spiering in het meer wordt nauwkeurig bijgehouden en dat levert het volgende model op:

Daarin is S de hoeveelheid spiering (in tonnen) en t de tijd in jaren.
In deze formule is er op t = 0 ongeveer 46,5 ton spiering aanwezig, maar je kunt de formule ook gebruiken voor andere beginhoeveelheden. Heb je bijvoorbeeld 400 ton spiering in het meer, dan hoort dat in deze formule bij t = 10 dus zal de spieringvoorraad zich de komende jaren ontwikkelen zoals de grafiek vanaf t = 10 loopt.

Teken een toenamendiagram met stapgrootte 1 op het interval [0, 30].
Rond de waarden af op gehele getallen.

Men wil graag elk jaar een bepaalde hoeveelheid vis vangen, maar wel zó dat de totale visstand jaar na jaar gelijk blijft. Dat betekent dat er elk jaar evenveel vis bij zal moeten komen als er gevangen wordt.

Onderzoek met een toenamendiagram wat de maximale hoeveelheid vis is die men kan vangen en op welk moment dat moet gebeuren.

10.

Bij het uitbreken van een griepepidemie in een land groeit het aantal patiënten volgende het model
N(t) = 3t³ - 350t² + 10000t Daarin is t de tijd in dagen met t = 0 op het moment van uitbreken van de epidemie. N is het aantal zieke mensen.

Teken een toenamendiagram voor 0 ≤ t ≤ 50 met stapgrootte 5.

Lees uit dit toenamendiagram af wanneer (ongeveer) het totaal aantal zieken maximaal is.

20 < t < 25

De epidemie is "onder controle" zodra er op een dag minder dan 1000 zieken bijkomen.
Onderzoek met je GR wanneer dat het geval is.

t = 17

11.

Voor de hoogte h (in cm) van een brandende kaars als functie van de tijd t (in minuten) geldt: h = 30 - 2√t

Maak een toenamendiagram op interval [0, 80] met stapgrootte 10.

Is er sprake van toenemende/afnemende stijging/daling? Wat zegt dat over de vorm van de kaars?

12.

examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1989

In een viskwekerij wordt vis uitgezet in een aantal nieuw aangelegde kweekvijvers. Als er geen vis wordt gevangen zal de visstand zich in de loop der jaren uitbreiden. Onderstaande grafiek geeft een model van de groei van de visstand.

Teken het toenamendiagram voor intervallen van een jaar, te beginnen met het interval 1-2.

De viskweker zal een aantal jaren wachten alvorens te 'oogsten'. Daarna wil hij jaarlijks dezelfde hoeveelheid vis vangen, liefst zo veel mogelijk. Het oogsten vindt steeds plaats aan het eind van het jaar. Na elke vangst breidt de visstand zich weer uit volgens bovenstaande grafiek.

Welk advies zou je de viskweker geven over:
• het aantal jaren dat hij na het uitzetten van de vis moet wachten.
• de grootte van de jaarlijkse vangst?
Geef bij dit advies een toelichting waarmee je de viskweker denkt te overtuigen.