uitslag


De uitslag van een figuur.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een uitslag is in de wiskunde iets heel anders dan in het dagelijks leven.
De uitslag van een ruimtelijke figuur is eigenlijk niets anders dan een "bouwplaat zonder plakrandjes" ervan. Als het kan moet je zo'n uitslag uit één stuk tekenen. Uiteraard zijn er voor één figuur meerdere mogelijke uitslagen: het hangt er maar vanaf welke ribben je gaat opensnijden.

Als je het lastig vindt een goede vorm van een uitslag te tekenen, geef dan de hoekpunten allemaal letters en teken één voor één de vlakken.

Voorbeeld

Hiernaast zie je een blauw ruimtelijk figuur in een kubus geplaatst.
De hoekpunten hebben we alvast een letter gegeven.
F, I, E en G zijn middens van de ribben.

Hieronder zie je in een soort stripje van zeven plaatjes hoe één voor één alle vlakken in een uitslag zijn getekend. De grijze lijnen zijn hulplijntjes van de vlakken van de oorspronkelijke kubus.

Op ware grootte.

Het is natuurlijk wel de bedoeling om zo'n uitslag op ware grootte te tekenen. Desnoods op schaal, maar ten opzichte van elkaar moeten de lengtes van alle ribben wel kloppen.

Hoe krijgen we dat voor elkaar?

In de einduitslag van het stripverhaal hierboven zie je in de figuur hiernaast hoe hulplijntjes ervoor gezorgd hebben dat de afmetingen kloppend werden.

De grijze hulplijntjes bij vlak 2 en 3 waren gewoon afmetingen van de kubus.

In vlak 5 zijn de lengtes van CG en BF gevonden door de groene cirkels met die straal en middelpunten C en B te tekenen en die te snijden met de verlengden van DC en AB. Zo is de lengte automatisch goed.

In vlak 6 is de precieze plaats van punt I gevonden door de paarse cirkels, beiden met straal EF en met middelpunten E en F met elkaar te snijden. Driehoek IEF moet immers drie gelijke zijden hebben?

Deze figuur is een mooi voorbeeld van de drie technieken die we kunnen gebruiken om lijnstukken op ware grootte te tekenen:
1. Een rechthoekige driehoek gebruiken om schuine lengtes te construeren (de grijze driehoekjes voor vlak 2 en 3)
2. Getekende lengtes omcirkelen op een andere lijn (de groene cirkelbogen voor vlak 5).
3. Driehoeken construeren door twee lengtes te omcirkelen (de paarse cirkelbogen voor vlak 6).

Teken een uitslag van de volgende blauwe ruimtelijke figuren. Ze zijn gemaakt door van een kubus met ribben 4 cm vlakken af te snijden, waarbij steeds hoekpunten of middens van ribben zijn gebruikt.

Hiernaast zie je een leuke variant op de beroemde Rubik's Cube.
Deze figuur heet een "antiprisma".
Het bovenvlak en het ondervlak zijn twee vierkanten die 45º ten opzichte van elkaar zijn gedraaid. Vervolgens zijn alle hoekpunten met elkaar verbonden.

Teken een uitslag van zo'n antiprisma als alle ribben even lang zijn.

En hiernaast is er nóg eentje (een zogenaamde "diamond cube").

Teken ook van deze ruimtelijke figuur een uitslag als alle ribben even lang zijn.

De figuur hiernaast is ontstaan door van een kubus alle middens van alle ribben met elkaar te verbinden.

Teken een uitslag.

Het lichaam ABCD.EMNH is verkregen door van een kubus met ribben 4 twee piramides af te snijden. Daarbij zijn M en N middens van ribben.

Teken een uitslag op ware grootte.

De figuur hiernaast is ontstaan door van een kubus middens van sommige ribben met elkaar te verbinden.

Teken een uitslag.

Olympiadevraagstuk.

Hieronder staat links een ruimtelijke figuur. Het is een balk waarvan in een hoekpunt een piramide is weggenomen.
rechts staat vijf keer een uitslag getekend.
Welk van de vijf uitslagen hoort bij de balk (er kunnen meerdere goede antwoorden zijn!)

De plaats van de top.

Als je een uitslag van een piramide maakt, dan krijg je steeds één grondvlak. waaraan aan elke zijde een zijvlak vastzit
Die zijvlakken ontmoeten elkaar uiteraard allemaal in de top.

Als je een uitslag van een piramide wilt maken is het handig om te bekijken boven welk punt van het grondvlak die top nou ligt.

Neem de uitslag hiernaast van een piramide met een vierkant grondvlak.

Om de plaats van de top te vinden draai je de piramide gewoon weer in elkaar!

Als je bijvoorbeeld het linkervlak TDA hiernaast weer "omhoog draait" dan blijft de top tijdens dat draaien de hele tijd boven de rode lijn hiernaast die loodrecht op AD staat.

Dus ergens op die rode lijn ligt het punt waar de top in de ruimtelijke figuur loodrecht boven ligt

Maar volgens die redenering kun je bijvoorbeeld het achtervlak TDC ook wel weer omhoog draaien, en dan moet de top boven de blauwe lijn hiernaast liggen (die loodrecht op DC staat).

Kortom: de plaats waar de top boven ligt is het snijpunt van de rode en de blauwe lijn (T' hiernaast).

Eeehhhm... waarom is dit ook alweer handig.....?

Neem de uitslag van de vierzijdige piramide met grondvlak ABCD waarvan hiernaast een deel is getekend. Stel dat we die uitslag af willen maken.
Dan moet daar aan BC en aan DC dus nog een vlak komen.
Maar hoe?.....

Om dit op te lossen gaan we eerst de plaats van de projectie van de top op het grondvlak opsporen.

Draai vlak TAB weer omhoog dan ligt de top de hele tijd boven de rode lijn (die loodrecht op AB staat).
Draai valk TAD weer omhoog dan ligt de top de hele tijd boven de blauwe lijn (die loodrecht op AD staat).

Kortom: het is het snijpunt van beide lijnen!!

Als je dat eenmaal weet kun je dus vanaf die T' ook lijnen loodrecht op de andere zijden tekenen. Dat zijn de groene en de paarse lijn hiernaast.

We weten dus nu dat de top in de uitslag ergens op die groene en die paarse lijn moet liggen.

De precieze plaats van die punten T kun je dan eenvoudig vinden door de lijnen BT en DT om te cirkelen.

Hiernaast zie je hoe dat is gebeurd en hoe dat de volledige uitslag van de piramide oplevert.

7.	Maak de uitslag van de volgende piramiden af. T is elke keer de top.



	a.	b.	c.

De kortste route.

Hiernaast zie je een slak die op een houten balk (van 6 bij 8 bij 10) in hoekpunt G zit. De slak gaat van G naar B kruipen over het oppervlak van de balk, maar doet dat via een punt P op EH en een punt Q op AE. De afmetingen van de balk zijn hiernaast aangegeven.

Wat is de kortste route die de slak kan volgen?

De oplossing is kinderlijk eenvoudig als je een uitslag van de balk bekijkt waarin de vlakken EFGH en EHAD en ADBC "aan elkaar" zitten.

Kijk maar:

De kortste route tussen G en B is nu uiteraard een rechte lijn.
De lengte vinden we eenvoudig met Pythagoras: BG = √(26² + 8²) = √740
Uit gelijkvormige driehoeken volgt ook vrij eenvoudig de plaats van de punten P en Q.(AQ = HP = ⁴⁰/₁₃, reken dat zelf maar na)

Bereken bij onderstaande ruimtelijke figuren de kortste route van P naar Q via de aangegeven route over het oppervlak van de figuur.

√244

√(112+32√3)

√(144+24√27)

Om een cilinder met hoogte 12 en diameter 10 wordt een touw gespannen. Het touw loopt van punt P in het bovenvlak naar punt Q in het ondervlak, waarbij Q recht onder P ligt.

Het touw wordt strak getrokken waardoor het zo kort mogelijk is.

Wat is het kortste touw dat hiervoor gebruikt kan worden?
Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

33,63

Hoe lang is dat touw als het een keer extra om de cilinder wordt geslagen?
Geef je antwoord in twee decimalen

63,97

10.

In een vierzijdige piramide wordt een groot aantal driehoeken APC getekend, met P ergens op TB.
Het grondvlak van de piramide is 10 bij 10, de hoogte van de piramide is ook 10.

Welke van deze driehoeken heeft de kleinste omtrek, en hoe klein is die omtrek? (geef je antwoord in twee decimalen)

32,40

11.

Een kegel heeft hoogte 8 en straal grondvlak 6.
Van een punt P op de ribbe van het grondvlak wordt over de kegelmantel een kromme getekend naar punt Q op de ribbe van het grondvlak, zodat PQ een middellijn van het grondvlak is.

Wat is de minimale lengte van de getekende kromme?

20•sin54º