Tja.....
"Waar stond nou boom B?" mompelt de eerste piraat
teleurgesteld.
"'t Is een complex probleem," verzucht de tweede.
"Dát is het!" roept de derde dan triomfantelijk.
"Laten we deze schatkaart aanbrengen op het complexe vlak.
Voor het gemak kiezen we boom C in de oorsprong en boom A in het
punt (1,0). Of nee, laten we overstappen op
poolcoördinaten"...
"Belachelijk! Póólcoördinaten! Op een tropisch eiland
nog wel!" mopperen de andere twee sarcastisch.....
Maar nummer drie gaat enthousiast verder: |
 |
|
|
"Stel dat boom B op een
willekeurig punt B • eib stond.
Dan is vector BC is gelijk aan -Beib
en deze 90º naar links draaien geeft vector -B•ei(b+
0,5p).
Deze vector vanaf punt C geeft de plaats van de eerste
stok: -B•ei(b+ 0,5p)
= B• ei(b - 0,5p)
Verder is vector BA gelijk aan BC + CA = -B•eib
+ 1. Noem dit P • eip.
90º naar rechts draaien geeft de vector P•ei(p-
0,5p).
Deze vector vanaf boom A geeft de plaats van de eerste
stok: 1 + P•ei(p- 0,5p).
De schat S bevindt zich op het gemiddelde van de beide
stokken:
|
Maar door de definitie van
P•eip is het deel tussen de vierkante
haken precies gelijk aan 1.
Conclusie: CS = 1/2
• (1 + e-0,5pi)
waarbij C de oorsprong was. In gewone coördinaten is S
dus het punt (1/2
, -1/2i).
Je komt dus bij de schat door vanaf boom C halverwege naar
boom A te lopen, dan 90º naar rechts te draaien en dezelfde
afstand nogmaals te lopen". |
 |
|
|
Een mooie creatieve oplossing, en
we weten zeker dat we op deze manier de plaats van de schat
zullen vinden.
En toch, als we dit probleem in een boek met raadsels of op een
olympiade zouden tegenkomen, dan is er een véél eenvoudiger
oplossing. Ik noem dat maar de "Raadselboekjesmanier"
Hoe werkt dat?
We gebruiken het feit dat het probleem in een
raadselboekje stond als extra informatie! We weten nu namelijk
dát er een oplossing is!
Als we aannemen dát er een eenduidige oplossing is, dan moeten
we kennelijk altijd het zelfde antwoord vinden, ongeacht de
plaats van boom B! Dus mogen we kennelijk boom B plaatsen waar
we maar willen. Zet hem bijvoorbeeld midden tussen A en C (of op
dezelfde plaats als A of C) en je hebt direct de schat
gevonden.....
't Is natuurlijk wel een erg flauwe manier om een raadsel
op deze manier op te lossen. |
|
|
| Meer zulke
Raadselboekjes-problemen..... |
|
|
| 1. Gat in
een bol.
Met een cilindervormige boor is een gat dwars door een bol
geboord.
Het middelpunt van de bol lag op de as van de cilinder. De
lengte van het cilindervormige gat wordt 2.
Hoeveel procent van de bol blijft er dan over? |
|
 |
| 2. Touw om
een bol
Om de "evenaar" van een bol wordt strak een touw
gespannen. Vervolgens wordt het doorgeknipt, en er wordt één
meter tussenin gezet.
Daardoor komt het touw overal iets van de
oppervlakte van de bol af te staan.
Hoeveel? |
|
|
| 3.
Doorsnijdende bollen |
|
|
|
Bol A met straal r ³
10 doorsnijdt bol B met straal 10. Dat gebeurt zodanig dat het
middelpunt van bol B op bol A ligt.
Hoe groot is de oppervlakte van het deel van bol A dat zich
binnen bol B bevindt? (de gearceerde oppervlakte in de tekening
hiernaast. |
 |
|
|
|
|
|
|
