De Vroege Forens

Je kunt dit soort problemen het makkelijkst oplossen door een "loopgrafiek" te tekenen. De tijd staat op de horizontale as, de afstand op de verticale.

De helling van de rode lijn (snelheid van de vrouw) is willekeurig gekozen. Uit deze figuur volgt direct dat PQ = 10 minuten, dus de tijd van punt R naar 5 uur is 5 minuten, dus de forens werd 5 voor 5 opgepikt door zijn vrouw en wandelde dus 55 minuten. De snelheid van de vrouw en de man, en de afstand van station tot huis doen er niet toe: de figuur is altijd hetzelfde!!

(Met een redenering kan het ook: ze arriveren 10 minuten eerder thuis, dus de vrouw heeft 10 minuten van haar reis heen-en-terug bespaard, dus 5 minuten van haar reis heen, dus ze pikte haar man om 4.55 op).

Nog eentje om te oefenen dan maar?

Twee mannen lopen op een spoorbrug. Ze zijn op ¹/₃ deel van de brug als ze een trein achter zich horen aankomen.
De trein rijdt met 60 km/uur. Beide mannen rennen naar een einde van de brug, maar de één rent de trein tegemoet (naar het dichtstbijzijnde uiteinde van de brug) en de ander rent vooruit (naar het verste einde van de brug). Ze rennen even snel, en jawel; beiden kunnen nét op het nippertje de trein ontwijken.
Hoe hard renden de mannen?

oplossing

Noem B het beginpunt (als ze de trein horen) en stel de lengte van de spoorbrug 1 (als de lengte L is moet je alles met L vermenigvuldigen, maar het antwoord blijft gelijk). Dat geeft de volgende grafiek. De hellingen (absoluut) van de rode lijnen zijn gelijk. De mannen bereiken bij punten P en Q het uiteinde van de brug, dus de grafiek van de trein moet daar ook doorheen gaan.
De treinlijn (blauw) heeft helling ¹/₆₀ dus QR = ¹/₆₀

Maar omdat BSQ en BOP gelijkvormig zijn met factor 2, is QS = 2 • PO, dus is PO = ¹/₆₀.
Bij de rode lijn BP hoort dus tijd = ¹/₆₀ en afstand = ¹/₃ dus snelheid = 20.

Kortom: ze rennen met 20 km/uur.

Genoeg geoefend; nu zélf.

Vier auto's A, B, C en D rijden met constante snelheid over dezelfde weg.
A haalt B om 8 uur in, en C om 9 uur.
D rijdt de andere kant op. Hij komt A om 10 uur tegen, B om 12 uur, en C om 14 uur.
Hoe laat haalt auto B auto C in?

Nog ééntje om het af te leren?

Deze komt uit de natuurkunde-olympiade van 2003.
Een man duikt van een brug af het water in, en zwemt tegen de stroom in. Hij kan met een snelheid van 2 km/uur t.o.v. het water zwemmen. Nadat hij 1 km heeft afgelegd (t.o.v. de oever) komt hij een kurk tegen die met het water meestroomt.
De man zwemt nog een half uur door, en keert dan om, nog steeds zwemmend met dezelfde snelheid t.o.v. het water.
Na een poosje haalt hij de kurk in, en dat gebeurt precies op het moment dat hij weer bij de brug is.

Hoe snel stroomt het water?

Onze methode zou als volgt gaan:
Kies als oorsprong bijv. het moment dat de man van de brug springt. Stel de snelheid van het water v.
Dat geeft de volgende figuur:

PQ heeft helling 2 - v (tegen de stroom in zwemmen) dus over PQ geldt Dy/Dx = 2 - v dus Dy = (2 - v) • Dx = (2 - v) • 0,5 = 1 - 0,5v. Dus Q ligt op hoogte y_Q = 1 + 1 - 0,5v = 2 - 0,5v
QR heeft helling 2 + v (met de stroom mee zwemmen). Dus over QR geldt: Dy/Dx = 2 + v ofwel Dx = Dy/(2 + v) = (2 - 0,5v)/(2 + v)

PR heeft dan helling :

Maar dat moet gelijk zijn aan de snelheid v van het water: ²/₃ + ¹/₃v = v Þ v = 1
Het water stroomt dus met 1 km/uur.

Hallo..... WAKKER WORDEN!
Je bent helemaal gek als je het probleem op deze manier oplost!!!!!
Ik noemde het niet voor niets "eentje om het af te leren"!
Het kan véél en véél eenvoudiger als je je realiseert dat de kurk en de man beiden de hele tijd door het water worden meegevoerd:

Als we naar de relatieve posities van de man en de kurk kijken doet de watersnelheid er niet toe. Het is alsof het water stilstaat, en dan zien we een zwemmer die een half uur van een stilstaande kurk afzwemt, en daarna weer er naartoe. Dat duurt dus weer een half uur. Dus na een uur is de zwemmer weer bij de kurk.
In werkelijkheid is de kurk dan net bij de brug, dus heeft de kurk in een uur 1 km afgelegd, dus stroomt het water met 1 km/uur! (Zo zie je trouwens ook meteen dat de stroomsnelheid onafhankelijk is van de snelheid van de zwemmer!)

Deze is ietsje moeilijker:

Twee boten varen op een rivier van de ene oever naar de andere. Er is geen stroming en zij maken een loodrechte oversteek. Ze vertrekken tegelijk, maar elk vanaf een andere oever en met verschillende (maar wel constante) snelheid.
Op een gegeven moment passeren zij elkaar op afstand 700 meter van één van de oevers.
De boten varen door, en als zij de andere oever hebben bereikt keren ze direct om en varen terug.
Op die terugweg passeren zij elkaar wéér, maar nu op 300 meter afstand van een oever.
Hoe breed is de rivier?

De situatie is zoals hiernaast geschetst. We hebben aangenomen dat de rode boot het snelst vaart.
De boten ontmoeten elkaar inderdaad twee keer, en het is meteen duidelijk welk stuk 300 meter is en welk stuk 700 meter.
Het gaat erom de lengte van het stuk x te bepalen.
Maar dat is nogal lastig: er zijn een heleboel gelijkvormige driehoeken in de figuur te vinden; kijk maar in de figuur hieronder.

Dat er zoveel driehoeken zijn komt door die tweede knik in de route van beide boten.
Daarom is het misschien een idee die knik weg te laten en de grafieken gewoon door te tekenen
Dat geeft:

Kijk, dat is een stuk overzichtelijker.
Uit de gelijkvormigheid van de getekende driehoeken volgt nu in één keer:

Kruislings vermenigvuldigen:

700•(x + 1400) = (x + 300)•(x + 600)

Vereenvoudigen en hergroeperen:

x² + 200x - 800000 = 0

De ABC-formule levert

x = 800 V x = -1000

Alleen de eerste is natuurlijk een echte oplossing.
De breedte van de rivier is dus:
300 + x + 700 = 1800 meter

6. Inspectie

Een colonne soldaten marcheert in een rechte lijn achter elkaar met constante snelheid.
De colonne is precies 1 km lang.
Een officier gaat tijdens het marcheren inspectie houden.
Hij begint achteraan, loopt tot de voorste man en loopt daarna weer terug naar de achterste. Ook hij loopt met constante snelheid.
Als hij weer bij de achterste man aankomt heeft die in de tussentijd precies 1 km afgelegd.
Hoeveel heeft de officier dan afgelegd?

7. Twee races

Twee jongens, Jan en Piet lopen 200 meter hard tegen elkaar. Dat doen ze twee keer (en ze lopen beide keren met dezelfde snelheid). Jan loopt wat harder dan Piet.
De eerste keer krijgt Piet een voorsprong van 8 meter plus 2 seconden rentijd. Toch verslaat Jan Piet nog steeds met 2 seconden.
De tweede keer krijgt Piet een voorsprong van 16 meter en 5 seconden. Deze keer verslaat Piet Jan met 20 meter.

Hoe snel rennen de jongens?

8. Het kan ook uit een "echt" plaatje

Twee boten varen in een rechte lijn over een cirkelvormig meer met constante snelheid.
Hun snelheid hoeft niet gelijk te zijn, maar ze vertrekken wel tegelijkertijd.
De eerste boot begint in haven A en vaart naar haven D.
De tweede boot begint in haven C en vaart naar haven B.
Het blijkt dat ze dan echter met elkaar zullen botsen.
Daarom spreken ze af dat boot één naar haven B zal varen en
boot twee naar haven D.
Bewijs dat ze dan precies tegelijkertijd zullen aankomen!!!!

9. Nog een Roeiprobleem

Karel roeit stroomopwaarts. Twee uur lang; van 8 tot 10. Dan keert hij om een roeit met de stroom mee terug. Bij het keerpunt valt zijn hoed in het water. Maar hij roeit gewoon door, immers die hoed komt wel weer achter hem aan. Om 11 uur is hij terug bij zijn startpunt.
Neem aan dat hij de hele reis even hard heeft geroeid.
Hoeveel later komt de hoed aan?

10. Geen afstanden, maar water!

Een man vult twee badkuipen, een grote en een kleine, met water. In de kleine badkuip gaat 120 liter. Hij heeft twee slangen. De ene slang levert 3 keer zoveel water als de andere. Hij stopt een slang in elke badkuip en zet de kranen tegelijkertijd open. Als de kleinere badkuip half vol is wisselt hij de slangen. De beide badkuipen blijken nu precies tegelijk vol te zijn! Vraag 1 Hoeveel water gaat er in de grote badkuip? Vraag 2 In het begin zijn de badkuipen even vol. Op het eind ook. Maar daar tussenin zijn ze óók nog ergens even vol. Als ze na 1 uur beiden vol zijn, wanneer waren ze dan ook even vol?