De formule van Cardano.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een derdegraadsvergelijking ziet eruit als  ax3 + bx2 + cx + d = 0.  En de vraag is:  "Is er voor zo'n vergelijking ook een soort handige "ABCD"- formule te maken, net zoals voor kwadratische vergelijkingen?". Het blijkt dat dat inderdaad mogelijk is, maar makkelijk is het niet, en we hebben er complexe getallen voor nodig.
Op de eerste plaats beperken we ons in deze les tot vergelijkingen als:

 x3 + bx2 + cx + d = 0.

We nemen dus a = 1. Dat kan altijd, immers als a niet gelijk is aan 1 dan delen we eerst alles door a.

 
Het oplossen van deze vergelijking is zo tussen 1500 en 1550 in stappen gevonden.   Dat ging ongeveer zó:
• De wiskundige del Ferro ontdekte zo rond 1500 een manier om vergelijkingen van de vorm x3 + px = q  op te lossen. Maar hij hield die ontdekking angstvallig geheim. Tegenwoordig publiceren wiskundigen juist graag en veel, maar in die tijd werkten ze heel onafhankelijk. Door elkaar uit te dagen in publieke "wiskundewedstrijden" konden ze roem verwerven en daarmee hopelijk de aandacht van een rijke sponsor ("patron").
Del Ferro nam het geheim bijna mee zijn graf in,  en vertelde het maar aan een paar mensen, waaronder op zijn sterfbed aan zijn zijn leerling Fior.
Dat was niet een super-wiskundige, maar hij voelde zich door deze kennis sterk genoeg om Tartaglia (wel beroemd in die tijd) uit te dagen voor een publieke wedstrijd in 1535. Elk zou 30 problemen opstellen die de ander moest oplossen.

     
• Tartaglia zag de bui hangen. Hij wist waar del Ferro mee bezig was geweest, en begon voor de wedstrijd koortsachtig te zoeken naar oplossingen van zulke derdegraads-vergelijkingen. En wonder boven wonder: vlak voor de wedstrijd ontdekte hij zelf een oplossing! Omdat del Ferro de meeste problemen hierover liet gaan, loste Tartaglia zonder moeite alle 30 problemen in een mum van tijd op. Del Ferro loste trouwens geen enkel probleem van Tartaglia op. Eindstand 30-0!!!
Tartaglia hield zijn methode uiteraard óók geheim.

     
• Cardano  hoorde van het succes van Tartaglia in de wedstrijd en vroeg Tartaglia naar zijn methode.  Vroeg, vroeg nog eens, drong aan, zeurde, smeekte, bad, en na lang aandringen verklapte Tartaglia zijn oplossing nadat Cardano plechtig op van alles had gezworen het geheim te houden.
Maar toen Cardano later op bezoek was bij della Nare (jawel: de schoonzoon van del Ferro) hoorde hij dat del Ferro al veel eerder een methode had.  Hij vond zijn eed tot geheimhouding niet meer geldig, immers hij mocht die oplossing van del Ferro wél publiceren.... toch? In zijn boek Ars Magna publiceerde hij de oplossing, trouwens wel netjes Tartaglia als bron noemend. Hij voegde er nog de manier toe om deze methode uit te breiden tot alle derdegraadsvergelijkingen, en niet alleen die speciale zonder x2.

Dikke ruzie natuurlijk. Tartaglia was woedend en  beschuldigde Cardano van plagiaat.

Het is nooit meer goed gekomen tussen beide heren....

     
Hoe het werkt.
Er zijn natuurlijk derdegraads vergelijkingen die wél zijn op te lossen.
Neem bijvoorbeeld  (x + 2)3 = 64
Toch staat daar als je de haakjes wegwerkt  x3 + 6x2 + 12x - 56 = 0  en deze tweede is niet zomaar te doen. Het probleem is dat je niet zomaar "ziet" dat er eigenlijk staat (x + 2)3

Als je toevallig probeert x te vervangen door  y - 2  (zodat y = x + 2) dan vind je  (y - 2)3 + 6(y - 2)2 + 12(y - 2) - 56 = 0
Haakjes wegwerken:  y3 - 6y2 + 12y - 8 + 6y2 - 24y + 24 + 12y - 24 - 56 = 0
Dat geeft  y3 - 64 = 0  ⇒  y3 = 64  ⇒  y = 4  ⇒  x = 2
Maar ja....
Hoe kom je aan die   y = x - 2.......???

Substitutie 1.  (wat Cardano aan het eind toevoegde).
probeer  x te vervangen door  y + s  met s een voorlopig nog onbekend constant getal.
Dat geeft  (y + s)3 + b(y + s)2 + c(y + s) + d = 0
⇒  y3 + 3y2s + 3ys2 + s3 + by2 + 2bsy + bs2 + cy + cs + d = 0
⇒  y3 + y2 (3s + b)  + y(3s2 + 2bs + c) + (s3 + bs2 + cs + d) = 0

Aan de tweede term zie je dat je, als je kiest  3s + b = 0, ofwel  s = -1/3b, dat dan de term met y2 wegvalt.
Dan is de vergelijking tenminste een stapje eenvoudiger geworden.

vervang x door    y - 1/3b
dan krijg je de vorm:    y3 + py + q = 0
Substitutie 2.  (de oplossing van del Ferro en Tartaglia)
We hebben het oorspronkelijke probleem teruggebracht tot het oplossen van  y3 + py + q = 0
Kunnen we niet nóg zo'n substitutie verzinnen?
Als je gaat proberen  y  te vervangen door  z + s2  dan zal dat niet lukken!  Immers dan is  x = y + s = z + s2 + s  en als dat iets nieuws oplevert, dan hadden we dat meteen bij de eerste substitutie ook al wel gevonden.

Het revolutionaire idee is nu:   Probeer eens  y  te vervangen door  m + n. Twéé variabelen! 
Geen constanten maar voor elke p of q zijn m en n weer anders. Ofwel:  m en n hangen samen af van p en q.
Dat betekent dat we nog vrijheid hebben in het kiezen van m en n, immers er zijn oneindig veel koppeltje (m,n) te vinden zodat er dezelfde y uitkomt. Deze vrijheid zullen we straks gaan gebruiken.

invullen van  y = m + n  geeft:
(m + n)3 + p(m + n) + q = 0
⇒  m3 + 3m2n + 3mn2 + n3 + pm + pn + q = 0
⇒  m3 + 3mn(m + n) + n3 + p(m + n) + q = 0

Er zijn natuurlijk niet voor niets twee termen rood gekleurd.....
Als we er nu voor zorgen dat  3mn = -p  dan vallen zomaar die tweede én de vierde term tegen elkaar weg!
Twee voor de prijs van één!

y = m + n  met  3mn = -p

onze oplossing gaat dan zó verder:
⇒  m3 + n3 + q = 0
bedenk dat  n = -p/3m  dan vind je:


Vermenigvuldig met  27m3  en er staat  27m6 - p3 + 27qm3 = 0
Substitutie 3.
Als je nu in deze laatste vergelijking m3 gelijk stelt aan z, dan staat er  27z2 + 27qz - p3 = 0
En dat is een kwadratische vergelijking.
Die heeft als complexe getallen altijd twee oplossingen, via onze oude vertrouwde ABC-formule.
En dan begint het trapsgewijs terugredeneren:

Als je z weet dan kun je m berekenen
   Als je m weet dan kun je n
   berekenen
      Als je m en n weet dan kun je y
       berekenen
         Als je y weet dan kun je x
         berekenen.

 

Voorbeeld.

Los op  2x3 - 8x2 + 4x - 70 = 0

Eerst maar even door 2 delen:  x3 - 4x2 + 2x - 35 = 0
Substitutie 1:  x = y - 1/3 • -4  ofwel  x = y + 4/3
Dat geeft:  
(y + 4/3)3 - 4(y + 4/3)2 + 2(y + 4/3) - 35 = 0
⇒  y3 + 4y2 + 16/3y + 64/27 - 4y2 - 32/3y - 64/9 + 2y + 8/3 - 35 = 0
⇒  y3 + y • (-10/3) + (-1001/27) = 0
Substitutie 2:  y = m + n  met  3mn = 10/3
Dat gaf de vergelijking   27m6 + 27qm3 - p3 = 0   met in dit geval  p = -10/3  en  q = -1001/27
Substitutie 3:  m3 = z  geeft de kwadratische vergelijking  27z2 - 1001z + 1000/27
De ABC formule levert ons  D = 998001  dus  z =  (1001 ± 999)/54 =  1000/27  of  1/27
Terugredeneren:
•  z = 1/27  ⇒  m = 1/3  ⇒  n = -p/3m = 10/3/1 = 10/3  ⇒  y = 10/3 + 1/3 = 11/3 
⇒  x = 11/3 + 4/3 = 15/3 = 5

•  z = 1000/27 ⇒  m = 10/3  ⇒  n = 1/3  en dat is het zelfde (m,n) koppeltje als hierboven, dus geeft dezelfde oplossing.

   
Als je het leuk vindt kun je natuurlijk ook nog even, gewoon omdat dat wel stoer staat, deze hele methode samenvatten in één formule, de "ABCD-formule in volle glorie:"
 
ax3 + bx2 + cx + d = 0
 
   

   

spoel en condensator

  

meer oplossingen
1. a. De vergelijking  8x3 + 36x2 + 54x + 19 = 0   is door de substitutie  x = y + c  met c een constante in één keer op te lossen. Vind de geschikte c en los deze vergelijking op.
   

c = -1,5
x = -0,5
b. De vergelijking  1 - 12x + 48x2 - 91x3 = 0  is door substitutie  van x = 1/(y + 4) in één keer op te lossen. 
Doe dat.
   

x = 1/7
c. De vergelijking  x2 + 16xÖx + 96x + 256Öx - 1040 = 0  is door substitutie van x = (y - 4)2  in één keer op te lossen. Doe dat.
   

x = 4
d. De vergelijking x3 - 11x2  + 35x - 25 = 0 kun je veranderen door substitutie y = x - p.
Als je p handig kiest kun je de termen met y en de constante tegelijk laten wegvallen.
Doe dat en los de vergelijking op.
     

p = 5
x= 5  of  x = 1

 
2. Geef met de methode van Cardano een oplossing van de volgende vergelijkingen:
       
  a. z3 + 3z2 + 9z + 14 = 0

z = -2
     
  b. z3 + 3z2 + 3z + 2 = 0

z = -2
       
  c. z3 + 3z2 - 9z - 27 = 0

z = 3
     
  d. 64z3 - 48z2 + 12z - 1 = 0

z = 4
       
  e. z3 + 6z2 + 11z + 6 = 0

z = -1,-2,-3
       
  f. z3 + 6z2 + 12z + 9 = 0

z = -3
       
3. Tot slot een paar die minder mooi uitkomen:
       
  a. z3 + 2z2 - 14z - 40 = 0

z = 4
       
  b. z3 + 3z2 + 4z - 28 = 0

z = 2
     
 

Hier heb je een derdegraadsvergelijking-oplosser:

 


Vul eerst in het venster een getal in, 

en click daarna op de plaats van dat getal in onderstaande vergelijking.

(gebruik Delete om een getal uit het venster te verwijderen)

  

     ( +  * i) * X3 

  + ( +  * i) * X2

 + ( +  * i) * X

  + ( +  * i) = 0

  

Oplossing 1:  +  * i

Oplossing 2:  +  * i

Oplossing 3:  +  * i
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)