Meer oplossingen...

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Oké, we hebben die lastige formule van Cardano bestudeerd, maar er blijft daarbij één nogal vervelende vraag over. Misschien zou ik hem moeten verzwijgen, maar ja.... zucht.... als wiskundige moet je natuurlijk wel eerlijk blijven.
De vervelende vraag is:
 
" De formule van Cardano geeft maar één oplossing,
maar er kunnen toch best meerdere oplossingen zijn?"
 
Tja.....
Dat kan ik moeilijk ontkennen. De vergelijking  x3 + 6x2 + 9x + 4  heeft bijvoorbeeld in ieder geval als oplossingen x = -1 en x = -4.  En met de formule van Cardano vinden we alleen maar x = -4  Hoe zit het met die andere oplossing? Hoeveel oplossingen zijn er eigenlijk? Hoe weten we dat we ze allemaal gevonden hebben?

De "Hoofdstelling van de Algebra" zegt:
 
Een n-de graadsvergelijking heeft n complexe oplossingen
 

Omdat sommige van die oplossingen samen kunnen vallen en dus niet echt verschillend zijn, is het misschien wat netter/duidelijker om te zeggen:

 

P(z) = zn + a1zn-1 + a2zn-2 + ... + an-1z + an 
is te schrijven als

P(z) = (z - z1)(z - z2)...(z - zn)
 

Immers als je dan  P(z) = 0 gaat oplossen vind je de oplossingen  z = z1 en z = z2 en  .... en  z = zn Dat zijn inderdaad n oplossingen waarvan sommigen misschien dubbel zijn. Voor onze derdegraadsvergelijkingen betekent dat, dat er i.h.a. dus drie oplossingen zullen zijn waarvan we er met de regel van Cardano ééntje hebben gevonden.

Wat is er bekend van die oplossingen?

Eigenlijk vooral dat de complexe oplossingen in koppeltjes voorkomen. We zagen al eerder bij kwadratische vergelijkingen
dat als een getal z een oplossing is, dat dan ook zijn geconjugeerde z*  een oplossing is. Deze regel blijkt niet alleen voor kwadratische vergelijkingen te gelden, maar ook voor alle hogere-graadsvergelijkingen.
Voor de verandering maar eens een keer een "slap" bewijsje. Eigenlijk schaam ik me er als wiskundige een beetje voor....
't Is wiskundig namelijk niet allemaal even fraai, maar helpt misschien toch wél iets extra te snappen van de complexe getallen.

 
Kijk, de derdegraadsvergelijkingen zijn eigenlijk gewoon vergelijkingen met "normale" reële getallen. Daar komt geen i in voor!  En voor zover de reële getallen iets weten van i, is dat alleen maar, dat het een ding is dat in het kwadraat -1 geeft, want -1 kennen ze. En tot-de-derde komt er "min-dat-ding" uit, en tot-de-vierde kom er 1 uit enz. Meer eigenschappen kennen ze niet van dat ding i.
Maar nou komt het:
 
Die eigenschappen gelden ook allemaal voor -i !!!!!
 

Het komt erop neer dat reële getallen en ook reële vergelijkingen geen verschil "zien" tussen i en -i. Die hebben wat hen betreft precies dezelfde eigenschappen. Maar dat betekent dat als het getal a + bi een oplossing is van een reële vergelijking, dat dan ook het getal  a - bi een oplossing moet zijn, immers die tweede heeft voor reële getallen precies dezelfde eigenschappen als de eerste.
 

Ik ben overtuigd!
Wie een "beter" bewijs nodig vindt moet dat hiernaast maar lezen.

Dit alles betekent dus dat de complexe oplossingen altijd in koppeltjes voorkomen.
Dus er zijn altijd een even aantal complexe oplossingen.
Dat betekent dat, als de graad oneven is, er dus altijd minstens één reële oplossing moet zijn.
Dat laatste had je ook vast wel kunnen verzinnen als je naar de reële grafiek van
 f (x) = xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + a  kijkt voor n oneven.

We weten dat helemaal aan de zijkanten van de grafiek de term met xn zal overheersen. Die wordt op den duur altijd groter dan de anderen. Dus zal de grafiek helemaal aan de linkerkant onder de x-as zitten en helemaal aan de rechterkant boven de x-as. Maar omdat deze grafiek continu is en geen vreemde sprongen maakt betekent dat, dat hij ook ergens de x-as zal moeten passeren. Je kunt nou eenmaal geen lijn van onder de x-as naar boven de x-as trekken zonder de x-as te passeren. Dat punt waar hij de x-as passeert is een reële oplossing van onze vergelijking.
Da's allemaal mooi, maar hoe vínden we nou die andere oplossingen?
Dat is niet zo moeilijk meer. De clou zit hem in de stelling hierboven die zei dat:
x3 + a1x2 + a2x + a3  is te schrijven als   (x - z1)(x - z2)(x - z3)
Met de methode van Cardano hebben we nu één van deze z123 gevonden.
Stel bijvoorbeeld dat we z1 hebben gevonden dan geldt:

Dus als je de oorspronkelijke uitdrukking deelt door x - z1, dan hou je  (x - z2)(x - z3) over maar dan zonder haakjes. Nulstellen geeft een kwadratische vergelijking waaruit je makkelijk met de ABC-formule z1 en z2 kunt vinden.
Hoe je dat delen door x - z1 moet doen kun je vinden in de les over staartdelingen.
 
•  Zoek met de methode van Cardano één oplossing x = z1.
•  Deel de oorspronkelijke uitdrukking door x - z1.
•  Los de overgebleven kwadratische vergelijking op.
 
Voorbeeld:  Geef de drie oplossingen van  x3 + 3x2 - 9x - 27 = 0
eerst de methode van Cardano:  p = -1/3•32 - 9 = -12  en  q = 2/27 • 33 - 1/3 • 3 • -9 - 27 = -16
z = (-27 • -16 ± √(729 • 16^2 + 108 • (-12)^3 )/54 = 8
Dus m = 81/3 = 2  en  n = 12/6 = 2
Dan is y = 2 + 2 = 4  en   x = 4 - 1 = 3  is een oplossing van deze vergelijking.
Deel de vergelijking daarom met een staartdeling door (x - 3):



De andere twee oplossingen komen dus uit  x2 + 6x + 9 = 0  en dat geeft tweemaal  x = -3
De oplossingen zijn dus  x = -3 en x = 3  en er geldt  x3 + 3x2 - 9x - 27 =  (x + 3)(x + 3)(x - 3)
1. Geef alle oplossingen van de volgende derdegraads vergelijkingen
           
  a. x3 - x2 + 2x + 4 = 0

-1, en 1 ± i√3
  b. x3 + 2x2 + 3x + 6 = 0

-2 en  ±i√3
  c. 2x3 + 14x2 + 14x + 12 = 0

-6 en  1/2 ±1/2i√3
  d. x3 - 6x2 + 9x - 4 = 0

x = 4 en x = 1 (en x = 1)
 

 
   
2. Van de vergelijking  x3 + 4x2 - px + 12 = 0   is  x = 2 een oplossing.
Bepaal p en de andere oplossingen van deze vergelijking.  
       

p = 18 en x = -3 ± √15

           
3. De vierdegraads vergelijking  z4 - 2z3 + 9z2 - 2z + 66 = 0  heeft  als oplossing  z = -1- i√5
         
  a. Welke andere oplossing heeft deze vergelijking dan ook?

z = -1 +  i√5
  b. Waardoor is z4 - 2z3 + 9z2 - 2z + 66 dan deelbaar?

z2 + 2z + 6
  c. Geef de andere oplossingen van deze vergelijking.  

z = 2 ± i√7
           
4.

Van  een derdegraads vergelijking van de vorm  z3 + bz2 + cz + d = 0  zijn twee van de drie oplossingen  
z = 1  en   z = 1 – i
Geef de waarden van b, c en d.
       

b = -3, c = 4,  d = -2

           
En dan nu de tegenvaller!
Het lijkt een geweldig systeem, dat altijd alle drie de oplossingen oplevert. En dat is ook zo.
Maar........
De vergelijkingen die je tot nu toe als opgaven hebt gekregen waren nogal zorgvuldig door mij uitgezocht. Misschien is het je al wel opgevallen dat die m en n  altijd erg mooie "ronde" getallen waren. En dat is natuurlijk lang niet altijd het geval. Meestal niet zelfs. "Nou" hoor ik je al zeggen, "Dan zijn de oplossingen óók geen mooie ronde getallen, dus wat geeft dat!" Maar helaas is dat laatste niet altijd waar......
Het kan voorkomen dat je met de methode van Cardano verschrikkelijke antwoorden krijgt die eigenlijk hele gewone simpele getallen zijn!
Neem het volgende voorbeeld:

Los op:  x3 + 6x - 20 = 0

x = m + n  geeft   m3 + 3m2n + 3mn2 + n3 + 6(m + n) - 20 = 0
m3 + n3 - 20 + (m + n)(3mn + 6) = 0  dus kies  3mn = -6  ofwel  n = -2/m
m3 - 8/m3  - 20 = 0
m6 - 20m3 - 8 = 0
m3, n3  =   (20 ± √432)/2 = 10 ± 6√3
Dat geeft als oplossing

Nou mooi! Een oplossing.
Voor de gein:  toets dit antwoord eens in je GR in.......

.............Waaauw! Dat had je niet verwacht hé?

Die andere twee oplossingen zijn met deze lastige wortels moeilijk te vinden, terwijl ze toch zo simpel zijn.
   

   

formule van Cardano

    

differentievergelijkingen
5. Geef de twee andere oplossingen van x3 + 6x - 20 = 0.
   
6. De vergelijking x3 - 15x - 4 = 0  heeft als een oplossing x = 4
         
  a. Bereken de twee andere oplossingen van deze vergelijking.

x = -2 ±√3
       
  b. Toon met deze vergelijking aan dat geldt:
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)