© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Gonio-substituties bij wortelvormen.
       
Ook deze les bestaat eigenlijk weer uit drie lessen die wel behoorlijk veel op elkaar lijken.
       
Les 1.  Vormen met    √(1 - x2)
       
Stel dat je een integraal tegenkomt waar ergens de vorm √(1 - x2) in voorkomt, met verder nog wat x-en zo hier en daar.
Dan is het vaak handig om de substitutie x = sinu te gebruiken (of x = cosu dat geeft hetzelfde resultaat).

Waarom?

Nou, als x = sinu dan is  √(1 - x2)  gelijk aan  cosu  en dat zijn elkaars afgeleiden! Dat kun je bij het primitiveren handig gebruiken met de kettingregel.
       
Voorbeeld:
Substitueer  x = sinu  en dus  dx = cosudu. Dat geeft:
∫x3√(1 - x2)dx  =  ∫sin3u • cosu • cosudu  =  ∫ sin3u • cos2u • du
Die laatste integraal hebben we eerder (deze les behandeld) de truc was om één sinu apart te zetten en de rest in cosinussen uit te drukken:
∫ sin3u • cos2u • du  = ∫ sinu • (sin2u cos2u)du  =  ∫ sinu • (1 - cos2u)cos2u du  = ∫ sinu • (cos2u - cos4u)du
Die laatste is nu eenvoudig met de kettingregel de primitieve is  F = 1/3cos3u - 1/5cos5u + c

Maar we moeten natuurlijk nog terug naar x in plaats van u.
Dat kan het makkelijkst met het driehoekje hiernaast. Daarin is sinu = x.
Je ziet dat dan  cosu = √(1 - x2), dus dat geeft voor de gevonden primitieve:
F = 1/3(1 - x2)1,5 - 1/5(1 - x2)2,5 + c

       
Voorbeeld:
Ik zie daar duidelijk weer zo'n √(1 - x2) staan, dus laten we dezelfde substitutie als hierboven proberen:
Die laatste is een oude bekende, en heeft als primitieve  F(u) = 1/2u - 1/4sin2u  (dat ging via de formule voor cos2x, weet je nog?). Om dat weer terug te brengen naar x in plaats van u moet je de verdubbelingsformule sin2u = 2sinucosu gebruiken.
Dat geeft  F(u) = 1/2u - 1/2sinu cosu   en met dat driehoekje bij het vorige probleem als hulp kun je dan eenvoudig vinden, dat:  F(x) = 1/2arcsinx - 1/2x√(1 - x2) + c
       
Voorbereidende werkzaamheden......
       
Bovenstaande substituties kun je (gelukkig maar!) niet alleen gebruiken als er precies √(1 - x2) staat, maar ook wel als er iets staat dat daar nogal op lijkt. Door handig dingen buiten haakjes te zetten of door kwadraat af te splitsen kun je van andere vormen ook vaak √(1 - x2) maken.
Twee voorbeelden zullen het wel duidelijk maken.... (hoop ik dan maar.....)
       
Voorbeeld.
Die noemer kun je veranderen door kwadraat af te splitsen:   4x - x2 - 3 = -(x2 -  4x + 3) = -(x2 - 4x + 4 - 4 + 3)
= -( (x - 2)2 - 1) = 1 - (x - 2)2
Maak de substitutie  u = x - 2  dus x =  u + 2 en dx = du en je krijgt:  
Daar staan nu drie integralen.
De eerste is precies het voorbeeld van hierboven!
De tweede kun je direct met de kettingregel primitiveren, als je schrijft 4u = -2(-2u) dan is die -2u de afgeleide van 1 - u2.
De derde heeft als primitieve 4arcsinu. (uit een eerdere les).

Vul het allemaal zelf maar in.......
 
Mooi voorbeeld, met "van alles wat".
Nou, dat vraagt natuurlijk om de substitutie  z = 2/3x dus x = 3/2z en dx = 3/2dz.
En nou is het er weer zo eentje als hierboven geworden. Probeer daarom maar weer de substitutie  z = sinu:
Zet er boven en onder een sinu bij, en je kunt sin2u in de noemer veranderen in 1 - cos2u:
Die sinu is weer (op een minteken na) de afgeleide van het blokje cosu. Dus mag je deze integraal behandelen als -a/(1 - a2).
Als je eerst een staartdeling maakt, dan vind je  -a/(1 - a2) = 1 - 1/(1 - a2)
Die laatste term kun je met breuksplitsen veranderen in  -0,5/(1 - a) - 0,5/(1 + a).
Het gaat dus om de primitieve van  1 - 0,5/(1 - a) - 0,5/(1 + a)   met a = cosu
De primitieve daarvan is   a + 1/2ln(1 - a) - 1/2ln(1 + a) = cosu + 1/2ln(1 - cosu) - 1/2ln(1 + cosu).
(omdat cosu altijd tussen -1 en 1 in zit mag je de absolute waardestrepen weglaten).
Als z = sinu dan is  cosu gelijk aan √(1 - z2)    (uiteraard weer met dat driehoekje hierboven).
en die z is weer gelijk aan 2/3x, dus dat geeft:  
 
En daarmee zijn we aan het eind gekomen van een zeer uitgebreide en lastige integraal.
Het kostte even tijd en moeite, maar na afloop heb je wel eer van je werk.

En we hebben meteen allerlei integratietechnieken weer even herhaald.

Ik hoop dat je er net zo´n voldaan gevoel over hebt als ik....
 
Les 2.  Vormen met    √(x2 - 1)
       
Bij integralen waar de vorm √(x2 - 1) in voorkomt is het meestal handig om de substitutie  x = 1/cosu te gebruiken.

Waarom?

Nou, dat zorgt ervoor dat die wortel verdwijnt.
Immers dan is √(x2 - 1) = √(1/cos2u - 1) = √(tan2u + 1 - 1) = √(tan2u) = │tanu│
Die absolute waarde-strepen zijn nodig, en het zal afhangen van de grenzen van de integraal of er een minteken komt of niet. Voor het vervolg van deze paragraaf nemen we voor het gemak aan dat de grenzen zodanig zijn dat tanu altijd positief is.
Als we later "echte" integralen met grenzen erbij doen moeten we dat wel steeds controleren.
De afgeleide van 1/cosu is  1/cosu • tanu   (ga zelf maar na). Dat maakt de integraal meestal een stuk makkelijker.
       
Voorbeeld.
De primitieve is dan  tanu - u + c
Om van u weer naar x te gaan maken we weer graag gebruik van zo'n handig driehoekje, waarin x = 1/cosu Zie hiernaast.
Daarin zie je dat dan geldt:   tanu = √(x2 - 1)
Verder is  cosu = 1/x ⇒  u = arccos(1/x)
Samen geeft dat de primitieve  F(x) = √(x2 - 1) - arccos(1/x) + c

       
En natuurlijk kun je ook andere vormen na enige voorbereidende werkzaamheden vaak wel veranderen in deze vorm. Dat gaat precies zoals hierboven al gebeurde.
       
Les 3.  Vormen met    √(x2 + 1)
       
Bij integralen waar de vorm √(x2 + 1) in voorkomt is het meestal handig om de substitutie  x = tanu  te gebruiken.

Waarom?

Nou, dan is  √(x2 + 1) = √(tan2u + 1) = √(1/cos2u) =  1/cosu    (absolute waarde strepen zijn uit luiheid weer weggelaten)
En verder is  dx = 1/cos2u du 
       
Voorbeeld.
Dat daar een √(x2 + 1) in zit verscholen zie je als je schrijft:
Substitueer daarom  x = tanu  en  dx = 1/cos2u du  en   (x2  +1) = 1/cos2u, dat geeft het volgende: 
Zet één van die sinussen in de teller apart en maak van de rest cosinussen:
Met de kettingregel (sinu  is op een minteken na de afgeleide van cosu) is dat in één keer te primitiveren.
Lees het maar als  1/z4 - 2/z2 + 1 = z -4 - 2z -2 + 1, dan krijg je met primitiveren:
Terug naar x.

Je raadt het al.... met zo'n handig driehoekje maar weer!
Als x = tanu dan geldt  cosu = 1/√(x2 + 1)
Dat geeft als primitieve:  F(x) = 1/3(x2 + 1)3/2 - 2√(x2 + 1) - 1/√(x2+ 1) + c

 

Samengevat:
Integrand met de vorm: Substitutie:
√(1 - x2) x = sin u
√(x2 - 1) x = 1/cosu
√(x2 + 1) x = tan u
       
 
           
1. Geef primitieve functies in de volgende gevallen:
           
  a.  

1/5(x2 - 1)2,5 + 1/3(x2 - 1)1,5 + c
           
  b.  

√(x2 - 4) - 2arcos(2/x )+ c
           
  c.  

-16√(16 - x2) + 1/3( 16 - x2)1,5 + c

           
  d.  

1/2ln((x + √(1 + x2 ))/(-x+√(1 + x2 )))
           
  e.  

-tan(1/2π - arcsinx)
           
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)