stochasten optellen


"Dingen" samennemen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Tot nu toe gingen alle voorbeelden met de normale verdeling steeds over één "ding" dat werd gemeten. In praktijk gaat het bij experimenten echter vaak om een aantal "dingen" die samengenomen worden. Waarvan dus de som wordt gemeten. Een erg belangrijk principe daarbij is:

Als je twee dingen die normaal verdeeld zijn bij elkaar optelt,
dan is het resultaat daarvan wéér normaal verdeeld.

Kortom, als je normaal verdeelde dingen bij elkaar optelt, dan kun je voor de som van die dingen één nieuwe klokvorm maken, en dáármee je berekeningen uitvoeren. Dan moet je natuurlijk wel het gemiddelde en de standaarddeviatie van die som-klokvorm weten. Die kun je berekenen met de volgende twee regels:

Als de getallen X₁, X₂, X₃... normaal verdeeld zijn, dan geldt voor hun som X_S:

μ_S
σ_S²

= μ₁ + μ₂ + μ₃ + ...
= σ₁² + σ₂² + σ₃² + ...

Voorbeeld 1.

Het gewicht van kartonnen dozen is normaal verdeeld met gemiddelde 200 gram en standaarddeviatie 6 gram. Het gewicht van dekbedden is ook normaal verdeeld met een gemiddelde van 450 gram en een standaarddeviatie van 15 gram.
Hoe groot is de kans dat een doos met drie dekbedden erin meer dan 1600 gram weegt?

We tellen hier 4 dingen bij elkaar op: drie dekbedden en een doos. Voor de som van die 4 geldt:
μ_S = 200 + 450 + 450 + 450 = 1550
σ_S² = 6² + 15² + 15² + 15² = 711 dus σ_S = √711 = 26,66
De kans op een gewicht van meer dan 1600 is dan normalcdf(1600, 100000..., 1550, 26.66) = 0,03

Dezelfde dingen optellen.

Als de dingen die je bij elkaar optelt allemaal hetzelfde gemiddelde en dezelfde standaarddeviatie hebben, dan kun je bovenstaande regels nog vereenvoudigen.
Kijk maar:

μ_S = μ₁ + μ₂ + μ₃ + ...+ μ_n = μ + μ + μ + ... + μ = n • μ
σ_S² = σ₁² + σ₂² + σ₃² + ... + σ_n² = σ² + σ² + σ² + ... + σ² = n • σ² dus σ_S = √(n • σ²) = √(n) • √(σ²) = σ√n

Vanwege die √n heet dit de √n-wet.
Samengevat:

Als je n dezelfde dingen bij elkaar optelt geldt voor de som:

μ_S = n • μ
σ_S = σ√n

Maar goed, eigenlijk is deze regel niet meer dan een speciaal geval van de regel erboven.

OPGAVEN

Het gewicht van de Nederlanders is normaal verdeeld met een gemiddelde van 73 kg en een standaarddeviatie van 18 kg. Op een lift staat het bordje: "Maximale belasting 400 kg".
Er stappen vijf Nederlanders in deze lift.
Hoe groot is de kans dat hun totale gewicht meer dan 400 kg is?

0,1923

Bij een productieproces in een fabriek moeten telkens twee buizen A en B aan elkaar worden gelast. Van de buizen A is de lengte normaal verdeeld met een gemiddelde van 80 cm en een standaardafwijking van 4 cm. Van buizen B is de lengte ook normaal verdeeld met een gemiddelde van 55 cm en een standaardafwijking van 3 cm.
Er worden telkens twee willekeurige buizen A en B gepakt.

Bereken de kans dat de totale lengte van de aan elkaar gelaste buizen meer is dan 140 cm.

0,1587

Een werknemer werkt aan de lopende band in een fabriek. Hij moet twee dingen doen. Bij de artikelen die langs komen moet hij een grote schroef op de juiste plaats aandraaien, en daarnaast moet hij ook elk artikel dat voorbij komt aan de bovenkant van een laagje verf voorzien.
De tijd die deze beide handelingen kosten is normaal verdeeld. Het aandraaien van de schroef kost gemiddeld 40 seconden met een standaarddeviatie van 8 seconden, en het verven kost gemiddeld 30 seconden met een standaarddeviatie van 5 seconden.

Hoe groot is de kans dat een werknemer deze beide handelingen samen in minder dan 65 seconden verricht?

0,2981

Hoe groot is de kans dat de werknemer 100 van deze artikelen in minder dan 650 seconden weet te verwerken?

0,2981

Het gewicht van pakjes boter is normaal verdeeld met een gemiddelde van 500 gram en een standaarddeviatie van 20 gram.
De pakjes worden verpakt in dozen waarvan het gewicht ook normaal verdeeld is met een gemiddelde van 1400 gram en een standaarddeviatie van 100 gram.

In een vrachtwagen staan 60 dozen, elk met 50 pakjes boter erin.

Hoe groot is de kans dat het totale gewicht van deze lading meer dan 1585 kg is?

0,2280

Alle Amerikaanse universiteiten hebben één of meer atletiekteams. Elk jaar worden voor de vorming van die teams selecties gehouden onder de studenten. Bij één van die selecties is van 800 studenten gemeten hoe snel ze de 100 m lopen. Die tijden bleken normaal verdeeld te zijn met een gemiddelde van 13 seconden en een standaarddeviatie van 1,5 seconden.

Om in aanmerking te komen moet je zeker de 100 meter binnen de 11 seconden lopen. Hoeveel van de 800 studenten zullen waarschijnlijk niet aan deze eis voldoen?

727

Uiteindelijk selecteert men de 50 studenten die het snelst lopen. Hoe snel zal dat naar verwachting minstens zijn?

10,7 sec.

Uiteindelijk selecteert men vier beste atleten. Hun tijden zijn normaal verdeeld met gemiddelden 10.3 en 10.5 en 10.5 en 10.6 seconden, en standaarddeviaties van resp. 0.4 en 0.2 en 0.5 en 0,6 seconden.
Hoe groot is de kans dat de 4 × 100 m in minder dan 42 seconden gelopen zal worden?
(neem aan dat het wisselen geen tijd kost of oplevert).

0,5442

Op een survivaltocht moeten de deelnemers op een gegeven moment een rivier oversteken op een vlot. Dat vlot kan een maximale belasting van 300 kg verwerken. Bij een zwaardere belasting zal het zinken.
Het gewicht van de volwassen deelnemers aan de survivaltocht is normaal verdeeld met een gemiddelde van 74 kg en een standaardafwijking van 8 kg.

Bereken de kans dat het vlot zinkt als er 4 volwassen deelnemers op gaan zitten.

0,4013

Wanneer zinkt het vlot eerder: als er 4 volwassen deelnemers op plaatsnemen of als er drie volwassen deelnemers op plaatsnemen waarbij één van de drie ook nog precies 70 kg bagage meeneemt?
Hoeveel scheelt dat in de zinkkans?

11,9%

Het gewicht van kinderen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 42 kg en een standaardafwijking van 7 kg.

Hoe groot is de kans dat het vlot zinkt als er 3 volwassenen en 2 kinderen op zitten?

0,6377

De euromunten die door de Nederlandse Munt worden gemaakt moeten voldoen aan strenge voorwaarden wat betreft hun afmetingen en gewicht. In de figuur hieronder zie je alle munten met daaronder hun diameter, hun dikte en hun gewicht.

De Nederlandse Munt produceert munten waarvan gewicht en afmetingen normaal verdeeld zijn. Men neemt de gewenste afmetingen en gewichten uit de tabel als gemiddelde.

De standaarddeviatie van de diktes van de munten is 0,04 mm.
Hoe groot is de kans dat een stapel van 15 muntstukken van €0,20 hoger is dan 32,5 mm?

0,0049

De standaarddeviatie van de gewichten is 0,3 g.
Hoe groot is de kans dat 5 munten van €0,50 en 8 munten van €2,00 minder dan 105 g wegen?

0,0322

Examenvraagstuk VWO, Wiskunde A, 1991.

Een zekere bank wordt 's nachts intensief bewaakt. Meerdere malen per nacht doet één van de bewakers een ronde door het gebouw. Op zo'n ronde moet hij zich op 15 plaatsen melden door een speciale code in te toetsen in een meldkastje. De computer in de controlekamer registreert de tijdstippen waarop dit gebeurt. Ook schrijft de procedure voor dat de tijdstippen van vertrek en terugkomst worden geregistreerd. De kastjes zijn zodanig op de route geplaatst dat de zestien loopafstanden vrijwel even lang zijn. Uit de overzichten over langere tijd blijkt dat, in het geval er niets bijzonders valt op te merken, de lengte van de tijdsintervallen tussen twee opeenvolgende meldingen van de bewaker redelijk normaal verdeeld is met een gemiddelde van 3,6 minuten en een standaarddeviatie van 0,7 minuten. In het geval dat een melding langer dan 5 minuten uitblijft wordt een bewaker in de controlekamer automatisch gewaarschuwd dat er mogelijk iets aan de hand is.

De bewaker heeft zich zojuist gemeld bij het vijfde kastje.

Bereken in gehele procenten de kans dat onder normale omstandigheden de volgende melding langer dan 5 minuten uitblijft.

0,02275

Veronderstel dat de lengtes van de 16 tijdsintervallen bij een ronde onder normale omstandigheden onafhankelijk van elkaar zijn.

Bereken in gehele procenten de kans dat onder normale omstandigheden de totale tijd van een ronde door het gebouw langer is dan 60,0 minuten.

0,1957

Dingen van elkaar aftrekken.

Als je dingen van elkaar aftrekt in plaats van bij elkaar optelt gelden de bovenstaande regels nog precies hetzelfde!
Voor het gemiddelde van het verschil V geldt uiteraard μ_V = μ₁ - μ₂.
Maar voor de standaarddeviatie van het verschil moet je de afzonderlijke standaarddeviaties optellen volgens de regel
σ² = σ₁² + σ₂² + ... ook al is het een verschil! Dat zit hem erin dat de σ een afwijking is vanaf het midden, beide kanten op! Die σ kent eigenlijk geen teken. Die geldt beide kanten op. Dus:

Voor het verschil V van twee normaal-verdeelde grootheden geldt:

μ_Vσ_V²

= μ₁ - μ₂= σ₁² + σ₂²

Maar wacht! Nou klopt er iets niet!

Een menu met toetje + hoofdgerecht + voorgerecht kost bij mijn Chinees restaurant namelijk gemiddeld €24,- met een standaarddeviatie van €3,50
De toetjes kosten gemiddeld €4,- met een standaarddeviatie van €0,50 en de voorgerechten kosten gemiddeld €5,- met een standaarddeviatie van €1,50.

Je kunt nu zó redeneren;
Hoofdgerecht = Menu - Toetje - Voorgerecht
Dus σ²_hoofdgerecht = σ²_menu + σ²_toetje + σ²_voorgerecht = 3,5² + 0,5² + 1,5² = 14,75 dus σ_hoofdgerecht = 3,84

Maar als je denkt te weten dat σ_hoofdgerecht = 3,84 kun je ook zó redeneren:
Menu = Toetje + Hoofdgerecht + Voorgerecht
σ²_menu = σ²_toetje + σ²_hoofdgerecht + σ²_voorgerecht = 0,5² + 3,84² + 1,5² = 17,24 dus σ_menu = 4,15

Huh? Het was toch 3,5?? Wat klopt hier niet aan.........?

Dat zit hem in het feit dat die kwadraatregel voor de standaarddeviaties er vanuit gaat dat bij het optellen van verschillende dingen de afwijkingen ten opzichte van het gemiddelde elkaar af en toe zullen versterken, maar ook af en toe zullen verminderen. De nieuwe standaarddeviatie is niet gewoon die twee ouden bij elkaar opgeteld, maar minder groot.
σ₁ = 2 en σ₂ = 3 geeft opgeteld σ_som= √(2² + 3²) = √13 = 3,6 en dat is minder dan 2 + 3 = 5.
Maar als die afwijkingen elkaar af en toe toevallig ook zullen verminderen dan geldt dat alleen maar als die afwijkingen onafhankelijk van elkaar zijn.
En dat was in het voorbeeld hierboven duidelijk niet zo. De prijs van het menu hangt natuurlijk nogal af van de prijs van bijv. het toetje!
Conclusie:

Je mag de regels voor combineren van de standaarddeviaties
alleen gebruiken als de dingen onafhankelijk van elkaar zijn!

Het gewicht van de bruggers is dit jaar normaal verdeeld met een gemiddelde van 50 kg en een standaarddeviatie van 10. Het gewicht van hun tassen is óók normaal verdeeld, met een gemiddelde van 45 kg en een standaarddeviatie van 8 kg.

Neem aan dat het gewicht van een brugger en het gewicht van zijn tas onafhankelijk van elkaar zijn.

Hoe groot is de kans dat een willekeurige brugger lichter is dan zijn eigen tas?

0,3481

10.

Gebruik de gegevens van vraag 7)
De standaarddeviatie van de diameter van de munten is gelijk aan 0,12 mm.
Hieronder zie je twee rijen munten.

Bereken de kans dat de onderste rij langer is dan de bovenste rij.

0,0019

11.

Hardlopers A, B, C en D lopen een 4 × 100 meter estafette. De tijden van deze lopers zijn allen normaal verdeeld. De gegevens staan in onderstaande tabel.

loper	1	2	3	4
gemiddelde	11,3	10,8	11,1	10,5
standaardafwijking	0,5	0,3	0,7	0,1

Bereken de kans dat loper 1 zijn 100 meter aflegt in maximaal 12 seconden.

0,9192

Bereken de kans dat de 4 × 100 meter estafette door deze lopers in minder dan 43 seconden wordt afgelegd. Neem aan dat het wisselen geen tijd kost of oplevert.

0,2225

Bereken de kans dat hardloper 1 voor zijn aandeel in de race meer tijd nodig heeft dan hardloper 2.

0,8044

12.

De lengte van de Nederlandse man is normaal verdeeld met een gemiddelde van 1.81 m en een standaarddeviatie van 12 cm. De Nederlandse vrouw is gemiddeld 1.68 m lang met een standaarddeviatie van 8 cm.
Het blijkt dat bij 95% van de echtparen de man langer is dan de vrouw.
Laat zien dat daaruit volgt dat de lengten van de man en de vrouw van een echtpaar waarschijnlijk niet onafhankelijk van elkaar zijn.

13.

Voor een verhuizing wil iemand stapels boeken in afsluitbare curverboxen vervoeren. De dikte van de boeken is normaal verdeeld met een gemiddelde van 6 cm en een standaarddeviatie van 1,5 cm. De binnenhoogte van de curverboxen is ook normaal verdeeld met een gemiddelde van 100 cm en een standaarddeviatie van 1 cm.

Bereken de kans dat een stapel van 17 willekeurig gekozen boeken op elkaar gestapeld in een willekeurige box past

0,375

14.

Op de bushalte Kardinge in Groningen stoppen bussen naar de wijken Lewenborg en Beijum.
Ik sta om 18:00 op deze halte te wachten en besluit de eerste bus die aankomt te nemen. De dienstregeling zegt dat de bus naar Lewenborg om 18:07 aankomt en de bus naar Beijum om 18:09.
Ik weet echter dat deze tijden niet exact zijn. Het zijn de gemiddelden van normale verdelingen met standaarddeviatie beiden 4 minuten.
Hoe groot is de kans dat ik de bus naar Beijum zal nemen?

0,3618

Het gemiddelde nemen.

We hebben hiervoor gezien hoe de van de SOM van normaal verdeelde dingen het gemiddelde en de standaarddeviatie kunt uitrekenen. Maar in plaats van de SOM te nemen kun je ook het GEMIDDELDE van een aantal normaal verdeelde dingen berekenen.

Dat lijkt misschien wat raar.... Voorbeeldje dan maar?

Stel dat een natuurkundige graag de lading van het elektron wil bepalen. Dan kan hij dat doen met de zogenaamde proef van Millikan. Maar die proef is niet oneindig nauwkeurig. Door meetfouten en toevallige fluctuaties in zijn apparatuur zal hij niet elke keer exact dezelfde waarde vinden. De waarden die hij vindt zullen normaal verdeeld zijn met een bepaald gemiddelde μ en een bepaalde standaarddeviatie σ. Die standaarddeviatie geeft eigenlijk aan hoeveel de gevonden meetwaarden verschillen.
Maar de natuurkundige kan de proef ook 10 keer verrichten en dan van die 10 metingen het gemiddelde m_G nemen. Dat geeft een getal dat betrouwbaarder is dan een enkele meting. Waar blijkt dat uit? Nou, als hij een aantal series van 10 metingen zou doen en elke keer het gemiddelde μ_Gzou uitrekenen, dan krijgt hij een rij getallen waar minder variatie in zit dan in een rij meetwaarden van één meting.

De standaarddeviatie σ_G van het gemiddelde zegt dus eigenlijk iets over de nauwkeurigheid en betrouwbaarheid van het gemiddelde. Alhoewel het gemiddelde μ_G natuurlijk maar één getal is, kun je het daarom tóch hebben over de spreiding daarin.

De berekening van μ_G en σ_G is gelukkig erg makkelijk. Bij het berekenen van gemiddelden neem je eigenlijk altijd het gemiddelde van dezelfde meetwaarden, dus metingen met dezelfde normale verdeling.
Stel dat we n zulke metingen doen met een gemiddelde μ en een standaarddeviatie σ. Dan hebben we al regels voor het uitrekenen van de som μ_S en σ_S: μ_S = μ • n en σ_S = σ • √n
Nou, om het gemiddelde te berekenen moet je die som delen door het aantal metingen n. Dat betekent dat μ_S en σ_S ook door n gedeeld worden, en dat geeft het volgende resultaat:

Als je van n dezelfde dingen het gemiddelde berekent, dan geldt:

μ_G = μ
σ_G = ^σ/_√n

15.

De maximumtemperatuur in Nederland op een willekeurige dag in september is normaal verdeeld met een gemiddelde van 19 ºC en een standaarddeviatie van 4 ºC. Neem aan dat de temperatuur op een dag onafhankelijk is van de temperatuur op een andere dag.
Als ik van een periode van 10 dagen de gemiddelde maximumtemperatuur bereken, hoe groot is dan de kans dat dat gemiddelde minder dan 18 ºC zal zijn?

0,2146

16.

Een natuurkundige moet de weerstand van een gloeilamp meten. Zij weet dat haar meetopstelling meetwaarden oplevert met een standaarddeviatie van 0,05 W.
Om een nauwkeuriger waarde van de weerstand te vinden besluit zij om de weerstand meerdere keren te gaan meten en het gemiddelde van die metingen te nemen.
Hoe vaak moet zij de weerstand minstens meten zodat de standaarddeviatie van dat uiteindelijke gemiddelde kleiner dan 0,008 W is?

40 keer

17.

Van een grote partij tomaten is het gewicht normaal verdeeld met een gemiddelde van 80 gram en een standaarddeviatie van 6 gram. Een fruithandelaar verkoopt tomaten uit deze partij in dozen. Hij zegt dat het gemiddelde gewicht van de tomaten in een doos minstens 78 gram is, en na een onderzoek van de Keuringsdienst van Waren blijkt dat inderdaad in 95% van de dozen ook het geval te zijn.
Hoeveel tomaten stopt de man in een doos?

24 á 25