Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek III, propositie 33.

Je kunt op een gegeven lijnstuk een cirkelsegment tekenen
met een hoek gelijk aan een gegeven hoek.

Begin met een hoek H en een lijnstuk AB.

Geval 1. De hoek H is scherp.
Teken vanaf punt A een lijn met een hoek even groot als hoek H. (I-23)
Teken AD loodrecht op die lijn (I-11)
(de plaats van D is nog niet bekend)
Teken het midden C van AB (I-10)
Teken CM loodrecht op AB, M het snijpunt met AD (I-11)
Teken MB
AC = BC, MC = MC, en de hoeken bij C zijn beiden 90º
Dus de driehoeken ACM en BCM zijn congruent (ZHZ) (I-4)
Dus MA = MB
Teken de cirkel met middelpunt M en straal MA, dan ligt B dus ook op die cirkel.
De lijn door A loodrecht op AB is de raaklijn aan de cirkel (gevolg van (III-16))
De rode hoeken zijn gelijk (hoek koorde en raaklijn) (III-32)
dus hoek D is gelijk aan hoek H.
Het gele segment is het goede.

Geval 2. Hoek H is recht.

Teken een lijn door A loodrecht op AB. (I-11)
Teken het midden C van AB. (I-10)
Teken de cirkel met middelpunt C en straal AC.

De lijn door A loodrecht op AB is de raaklijn aan de cirkel (gevolg van (III-16))

Dan is de hoek ADB ook recht, en dus gelijk aan hoek H.
(III-32)

Het gele segment is het goede.

Geval 3, Hoek H is stomp.

Teken vanaf punt A een lijn met een hoek even groot als hoek H. (I-23)
Teken AD loodrecht op die lijn (I-11)
(de plaats van D is nog niet bekend)
Teken het midden C van AB (I-10)
Teken CM loodrecht op AB, M het snijpunt met AD (I-11)
Teken MB.
AC = BC, MC = MC, en de hoeken bij C zijn beiden 90º
Dus de driehoeken ACM en BCM zijn congruent (ZHZ) (I-4)
Dus MA = MB
Teken de cirkel met middelpunt M en straal MA, dan ligt B dus ook op die cirkel.
De lijn door A loodrecht op AB is de raaklijn aan de cirkel (gevolg van (III-16))
E is een willekeurig punt op de cirkel (aan de andere kant dan hoek A)
De rode hoeken zijn gelijk (hoek koorde en raaklijn) (III-32)
dus hoek E is gelijk aan hoek H.
Het gele segment is goede.