© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek III, propositie 7.
       

Teken vanuit een punt P op de diameter van een cirkel (niet M) lijnen naar de cirkel.
Dan is de grootste de lijn door PM, en de kleinste de rest van die diameter.
Van de overigen zijn lijnen dichter bij die diameter groter dan lijnen er verder vanaf.
Verder zijn er steeds twee even groot; aan elke kant van die diameter één.
       
Eigenlijk een heleboel stellingen tegelijk:
       

       
Teken BM en CM.

In elke driehoek zijn twee zijden samen groter dan de derde,  (I-20)
dus MB en MP zijn samen groter dan BP.
Maar AM = BM 
AP = AM + MP = BM + MP  en is dus groter dan  BP.
Dus AP is de grootste.

BM = CM, en MP = MP dus de driehoeken BMP en CMP hebben twee gelijke zijden, en dan heeft de driehoek met de grotere hoek daartussen ook de grotere basis (I-24)
Dus BP is groter dan CP

MP + DP is groter dan  MD   (I-20)
MD = ME  dus MP + DP is groter dan ME
Trek van beiden MP af:   DP is groter dan EP
Dus EP is de kleinste.

       
Neem een lijn MB.
Construeer hoek PMG gelijk aan hoek PMB aan de andere kant van AE   (I-23)

Dan zijn de driehoeken PMG en PMB congruent  (ZHZ)  (I-4)
Dus is PG = PB.

Er is geen enkele andere lijn ook even groot:
Stel dat PH ook even lang is,
Omdat PH = PB en ook PG = PB zou PH even groot zijn als PG.
Maar dan zou een lijn dichter bij de diameter AE even groot zijn als een lijn verder er vanaf, en dat kan niet (zie hierboven), dus zo'n tweede even grote lijn bestaat niet.

       
 
       
Muggenzifterij:
  Het is niet helemaal duidelijk wat wordt bedoeld met "dichter bij de diameter".
Had Euclides dat niet beter kunnen beschrijven met behulp van de grootte van de hoeken die de lijnen met de diameter maken????
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)