© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De afstand tussen twee punten.
   
De afstand tussen twee punten kun je erg makkelijk berekenen.
Daarvoor moet je eerst weten hoe Pythagoras ruimtelijk werkt. Dat staat in deze les.
Verder moet je weten wat ruimtecoördinaten zijn en hoe je ze kunt bepalen. Dat staat in deze les.
   
Met deze twee "gereedschappen" is het een makkie.
Tussen twee punten A en B teken je in gedachten een balk zoals hiernaast is gebeurd.
De drie zijden van die balk hebben nu lengtes  xB - xA en 
yB - yA en  zB - zA zoals hiernaast is duidelijk gemaakt.

Pythagoras toepassen geeft dan meteen de lengte van lijnstuk AB:
 
AB = √((xB - xA)2 + (yB - yA)2 + (zB - zA)2 )
 

   
Zo is bijvoorbeeld de afstand tussen de punten  A(2, -3, 6) en B(-4, 3, -2)  gelijk aan: 
AB = √((-4 - 2)2 + (3 - - 3)2 + (-2 - 6)2 ) = √((-6)2 + 62 + (-8)2) = √(36 + 36 + 64) = √136

Simpel hè?
   
twee uitgebreide voorbeelden.

voorbeeld 1.
In kubus  ABCD.EFGH met ribben van 6 is M het midden van GC en  S het snijpunt van AC en DB.
P ligt op DG zodat  DP : PG = 1 : 2
Bereken de afstand van P tot het midden Q van SM.

oplossing.
Kies als oorsprong punt D.
Dan is S = (3, 3, 0) en M = (0, 6, 3)
Dus Q = (1.5, 4.5, 1.5)
Verder is  P = (0, 2, 2)
Dus PQ = √(1.52 + 2.52 + 0.52) = √8,75

   
voorbeeld 2.
Van piramide T.ABCD is het grondvlak een vierkant met zijden 8.
T ligt boven het midden van dat grondvlak, en de hoogte van de piramide is 4.  P ligt op TC zodat  PC = √3
Bereken de afstand AP.

oplossing.
Kies als oorsprong punt D.
Dan is T = (4, 4, 4) en C = (0, 8, 0)
TC heeft lengte √(42 + 42 + 42) = √48 = 4√3
Dus CP = 1/4CT.

CT is de verplaatsing +4, -4, 4  dus  CP is de verplaatsing 1, -1, 1.   Dus P =  (0 + 1, 8 - 1, 0 + 1) = (1, 7, 1) 
A = (8, 0, 0)  dus  AP = √(72 + 72 + 12) = √99 = 3√11.
   
   
  OPGAVEN
   
1. In kubus ABCD.EFGH met ribben van 4 cm  is M het midden van BG en is P een punt op  EC zodat  EP : PC = 1 : 2

     
  a. Bereken de afstand AM
   

2√6
  .b Bereken de afstand PG
   

4
  In deze kubus zijn Q, R en S de middens van AB, GC en HG.
       
  c. Toon aan dat driehoek QRS niet gelijkbenig is.
       
  QRS kan alleen gelijkbenig worden als je S op het verlengde van GH kiest, links van H.
       
  d. Waar op het verlengde van GH moet S liggen zodat de driehoek QRS wél gelijkbenig is?
     

HS = √20 - 4
HS = 4
       
2. Piramide T.ABCD  heeft een vierkant grondvlak met zijden 4.
De hoogte is 1, en de top T ligt recht boven het  midden van het grondvlak.
P is een punt op TA zodat AP : PT = 1 : 2

     
  a. Bereken de afstand PC.
   

1/3√201
  b. M is het midden van TC.
We gaan nu de hoogte van de piramide vergroten. Dat doen we net zolang totdat  AM = 5,5.
Wat is dan de hoogte van de piramide?
     

h = 7
       
3. Gegeven is een kubus ABCD.EFGH met ribben van 4 cm.
P is een punt op HB.
Als je de oorsprong in punt D kiest, zijn de coördinaten van P te schrijven als  P = (p, p, 4 - p)

     
  a. Toon dat aan.
     
  Q ligt op FG zodat QG = 1.
Dan geldt  PQ = √(3p2 - 10p + 17)
     
  b. Toon dat aan.
     
  c. Welk punt van HB ligt het dichtst bij Q?
     

(4/3, 4/3, 8/3)
       
4. Op elk zijvlak van een kubus met ribben 2 wordt een nieuwe kubus geplakt.
Dat levert de figuur hiernaast op.

Wat is de straal van de kleinste bol waar deze figuur in past?

     

r = √11
       
5. Gegeven is de regelmatige vierzijdige piramide T.ABCD met AB = BC = 6  en hoogte  TS = 8.

De punten M, N, O en P zijn de middens van ribben.

Zie de figuur hiernaast.

Het snijpunt van lijn AN met vlak MOP is punt V.

     
  a. Teken V.
     
  b. Bereken de afstand AV.
   

2,506
         
6. In balk ABCD.EFGH is M het midden van AB en N het midden van DC. 
Verder is AD = 4,  AB = 6 en AE = 3.
S is het snijpunt van lijn EC met vlak MNGF

     
  a. Teken punt S.
     
  b. Bereken de lengte van ES in twee decimalen nauwkeurig.
   

5,21
         
7. Gegeven is de balk ABCD.EFGH 
met AB = 6 en BC = CG = 4.

Lichaamsdiagonaal CE wordt door GR en GS in drie stukken van gelijke lengte verdeeld. Hierbij ligt R op AC en S op AE.

Bereken de lengte van AR en AS.

 

   

√13 en 2
         
       
8. Gegeven is de balk ABCD.EFGH met 
AD = 3 en DC = 4  en  DH = 5.
Het snijpunt van vlak DEG en lijn HB is punt P.

     
  a. Teken P
     
  b. Bereken de lengte van BP
   

2/3√50
  M en N zijn de middens van EH en HG. Q is het snijpunt van vlak DMN met lijn HB.
     
  c. Teken Q
     
  d. Bereken de lengte van BQ
   

4/5√50
       
9. Gegeven is prisma ABC.DEF met alle ribben 8.
M is het midden van BC.
S is het snijpunt van vlak ABF met lijn MD

     
  a. Teken S
     
  b. Bereken de lengte van DS
   

4/3√7
       
       
10. In kubus ABCD.EFGH met ribben 4 is M het midden van GC.
Verder is BR = QG = PH = AS = 1
Lijn EM snijdt vlak PQRS in punt T.

     
  a. Teken T.
     
  b. Bereken de lengte van ET.
   

3,6
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)