Symmetrie

Symmetriebewijzen zijn misschien wel de mooiste en eenvoudigste bewijzen die er zijn. Er zijn er helaas niet zoveel van. Een voorbeeld is deze:

Als P op een cirkel met middelpunt M ligt,
dan staat MP loodrecht op de raaklijn aan die cirkel in P.

Het bewijs gaat trouwens weer vanuit het ongerijmde:

Stel dat het niet zo is, maar dat ∠MPA ongelijk is aan 90º. Dan is ∠MPA ongelijk aan ∠MPB (samen zijn ze immers 180º). Maar als ik de  figuur spiegel in MP, dan krijg ik de oorspronkelijke opgave met A en B verwisseld. Het kan natuurlijk niet zo zijn dat ik bij opgave 1 een bepaalde waarde voor ∠MPA zou krijgen maar bij opgave 2 een andere waarde voor ∠MPB.
Daarom moeten de hoeken gelijk zijn en dat kan alleen als ze elk 90º zijn want samen zijn ze 180º. QED