Nieuwe pagina 1

Examenopgaven

2001 - II opg. 7

2001 - II opg. 8

2002 - I opg. 15

2003 - I opg. 5

2003 - I opg. 13

2003 - II opg. 6

2004 - I opg. 7

2004 - II opg. 12

2005 - II opg. 11

2006 - I opg. 11

2006 - II opg. 4

OPGAVEN

De grafiek van y = 0,5^x wordt tussen x = 0 en x = 2 gewenteld om de x-as.
Dan ontstaat een toeter-achtig lichaam. Bereken de oppervlakte van dit lichaam.

Vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van y = x² en de lijn y = 16.
Bereken de plaats van het zwaartepunt van V.

Hoeveel arbeid kost het om een veer met veerconstante c = 0,4 vanuit ruststand 10 cm uit te trekken?

Bepaal de lengte van de grafiek van één periode van y = sin x in twee decimalen nauwkeurig.

Een punt beweegt over parameterkromme K met vergelijkingen:
x(t) = sin(t - ¹/₃p) en y(t) = sin t . Bereken de lengte van K.

OPLOSSING

Verdeel de figuur in ringen met dikte dx
De oppervlakte van zo'n ring is 2prdx = 2pydx= 2p • 0,5^xdx
De totale oppervlakte is dan :

en dat is ongeveer gelijk aan 6,80

Verdeel het vlakdeel in strookjes met hoogte dy en breedte 2x = 2Öy
De massa (= opp. = kracht) van zo'n strookje is dan 2Öydy
Het moment tov de oorsprong van zo'n strookje is dan 2Öy dy • y
Voor het totale moment van al die strookjes geldt:

Voor de totale kracht (=massa=opp) op de figuur geldt:

Voor de hoogte z van het zwaartepunt geldt dan z • 85¹/₃ = 819,2 Þ z = 9,6

De terugwerkende kracht is F = -c • x = -0,4x
Om de veer van x naar x + dx te verplaatsen kost dat W = F • dx = 0,4xdx arbeid
Voor de totale arbeid geldt dan:

f '(x) = cosx dus geldt:

Die kan niet exact. De grafische rekenmachine levert een waarde van L » 7,64

Voor de snelheid geldt v = Ö((x')² + (y')² ) =Ö {(cos²(t - ¹/₃p) + cos²t }
Voor de afgelegde afstand geldt dan :

De grafische rekenmachine geeft S » 6,18

Integralen Opstellen

De algemene aanpak is als volgt:

Verdeel het probleem in allemaal kleine "stukjes" ter grootte dx
(dat kunnen stukjes van een afstand of hoogte zijn of schijfjes van een figuur of strookjes oppervlakte of....)

Maak een berekening voor één zo'n stukje.

Zorg dat er alleen nog de letter x in voorkomt (die van dx).

Tel alle stukjes bij elkaar op. Dat geeft een S-teken en als we dx zo klein mogelijk nemen verandert dat in een integraal.

Voorbeelden zullen het misschien duidelijker maken:

1. Oppervlakte van een ruimtelijke figuur

De parabool y = x² wordt tussen x = 3 en x = -3 gewenteld om de y-as. Bereken de oppervlakte van het lichaam dat zo ontstaat

Verdeel de oppervlakte in strookjes met dikte dh.
De oppervlakte van zo'n strookje is dan dO =2prdh
Omdat y = x² is r = Öh dus dO = 2pÖhdh
Voor de totale oppervlakte moet je alle strookjes tussen h = 0 en h = 9 optellen:

2. Zwaartepunt

•
•

•

•

Het moment M van een kracht F tov een punt is gelijk aan F • r (r = arm = afstand)
De zwaartekracht op een deeltje is evenredig met de massa. Laten we voor het gemak stellen dat de zwaartekracht gelijk is aan de massa (evenredigheidsconstante 1).
Het moment M van een lichaam tov een punt is de som van alle momenten van alle deeltjes van dat lichaam.
Als alle massa in het zwaartepunt Z zou zitten dan zou die massa precies hetzelfde moment opleveren als het originele lichaam. Zo is het zwaartepunt Z gedefinieerd.

voorbeeld: Het zwaartepunt van een kegel


Laten we het totale moment tov de top gaan berekenen. Verdeel de kegel in schijfjes met dikte dh. Het zwaartepunt van zo'n schijfje ligt (symmetrie) in het middelpunt, en we mogen dus doen alsof alle massa daar geconcentreerd zit. De kracht stellen we gelijk aan de massa, en als we een kegel met dichtheid 1 nemen is de massa weer gelijk aan de inhoud. moment van één schijfje: M = F • h = pr²dh • h maar uit gelijkvormigheid geldt ^H/_R = ^h/_r dus r = ^h^R/_HInvullen en alle momenten van h = 0 tot h = H optellen:


De totale kracht (= massa) van de hele kegel is gelijk aan de inhoud, dus ¹/₃pR² H Als z de afstand van het zwaartepunt tot de top is, dan moet dus gelden: z • F = M Þ z • ¹/₃pR² H = ¹/₄pR² H² Þ z = ³/₄H Het zwaartepunt ligt op ³/₄ van de top, dus op ¹/₄ van het grondvlak.

3. Arbeid

Voor de arbeid W geldt W = F • s. Maar als F niet constant is moeten we allemaal kleine stukjes ds nemen, en voor elk stukje de arbeid bepalen:

voorbeeld:
Bereken de arbeid die de zwaartekracht verricht op een massa M die vanaf het aardoppervlak omhoog wordt geschoten en ontsnapt aan de aarde (dus tot afstand oneindig komt).
De zwaartekracht is F = G • m • M/r² waarin M de massa van de aarde is, en G een constante, en r de afstand tot het middelpunt van de aarde.
Over een stukje dr verricht de zwaartekracht arbeid dW = F • dr
Alle stukjes van R (de straal van de aarde) tot en met ¥ bij elkaar optellen geeft:

Om te ontsnappen aan de aarde moet de massa in het begin genoeg kinetische energie krijgen om deze arbeid te overwinnen. Dus is W = ¹/₂mv²Door G (= 6,7•10^-11), M (= 5,98 • 10²⁴) en R (= 6,4 •10⁶) in te vullen is v te bepalen: v » 11000 ^m/_s

4. Afgelegde weg

Als de snelheid v(t) op tijdstip t bekend is, kun je de afgelegde weg berekenen.
Verdeel de tijd in stukjes dt In één zo'n stukje is de afgelegde afstand ds = v(t) • dt
Totale afstand te vinden moet je integreren.

voorbeeld

Een puntmassa beschrijft de parameterkromme K, gegeven door
x(t) = sin t en y(t) = 2sin(2t). Bereken de lengte van de baan.

Voor de snelheid geldt:

voor de afgelegde weg geldt dan:

waarbij het laatste antwoord met de Grafische Rekenmachine is gevonden.

5. Lengte van een grafiek

Verdeel de grafiek in stukjes dL. Pythagoras geeft (dL)² = (dx)² + (dy)² Om de lengte L te vinden tel je al deze stukjes dL bij elkaar op:

Deze integraal kun je meestal niet algebraïsch berekenen (alleen bij f(x) = xÖx lukt het)

6. Potentiële Energie

Is eigenlijk hetzelfde als de arbeid.

voorbeeld

Bereken de potentiële energie van een touw van lengte L dat vanaf hoogte L tot de grond hangt. Neem dichtheid 1.
De potentiële energie is gelijk aan de verrichte arbeid om het touw daar te krijgen.
Begin met een touw dat helemaal op de grond ligt, en breng alle stukjes met lengte dh
naar hun eindhoogte h.
Daarbij moet de zwaartekracht F = m•g = dh • g worden overwonnen
De arbeid voor één zo'n stukje is W = F • h = dh • g • h
Voor de totale arbeid moeten we de som van alle dh nemen: