|
HARDE, maar ook
ZACHTERE bewijzen
"Geen
kat heeft 8 staarten"
"1 kat heeft 1 staart meer dan geen kat"
"Daaruit volgt dat 1 kat 9 staarten heeft!"
De
volgende bewijzen zijn (een beetje) geordend naar bewijsmethode.
Ik heb de categoriën Deductie,
Inductie,
Visueel,
Het Ongerijmde,
Constructie,
Symmetrie,
Pigeon-Hole,
Oneindig
Afdalen en
Uitputting genoemd.
Waaraan voldoet een "mooi" wiskundig bewijs? Ik vind eigenlijk dat de
stelling niet te ingewikkeld mag zijn, en het bewijs ervan ook niet! Maar ook niet te
voor de hand liggend. De beroemde "Laatste stelling van Fermat"
hiernaast is een voorbeeld van een eenvoudige stelling maar valt af doordat het
bewijs veel te moeilijk is. (Een ruwe schets van het bewijs kun je hier
vinden).
Met het "Vermoeden van Goldbach" is het
nog veel erger gesteld: dat is een zo mogelijk nog eenvoudiger bewering, maar er
is nog geen oplossing voor gevonden. Sterker nog, voor de eerlijke vinder ligt
een beloning van een miljoen te wachten!!!
|
|
Het vermoeden van Goldbach:
"Elk even getal kan als
som van twee priemgetallen geschreven worden"
|
|
|
|
 |
|
|
|
 |
|
....er is zelfs een postzegel van...
|
|
|
|
|
|
xx
|
|
| |
|
| |
|
|
Hierboven kun je kiezen uit een bewijsmethode
waar je meer over wilt weten.
Veel bewijsplezier!
Maar nu de keerzijde van de medaille.
Natuurlijk is niet alles te bewijzen.
Laten we kijken naar de drie beruchtste problemen:
|
KLASSIEKE PROBLEMEN
De oude Grieken waren al
gefascineerd door bewijzen en constructies en de combinatie daarvan. Zij kampten
echter eeuwenlang met drie grote problemen:
| 1.
De trisectie van een hoek. |
|
Gegeven een
bepaalde hoek, hoe deel je die met passer en liniaal in drieën? |
| 2.
De kwadratuur van de cirkel. |
|
Gegeven een
cirkel, hoe construeer je met passer en liniaal een vierkant met
dezelfde oppervlakte als de cirkel? In feite komt dit neer op het construeren van
een lijnstuk met lengte p. |
| 3.
De verdubbeling van de kubus. |
|
Gegeven een
kubus, hoe construeer je met passer en liniaal een kubus met inhoud het
dubbele van de oorspronkelijke kubus? Dit komt dus neer op het
construeren van een lijnstuk van lengte 3Ö2.
|
De legende gaat dat de
burgers van Athene door een epidemie geteisterd werden, en dat zij in 430 voor
Christus raad zochten bij het orakel van Apollo te Delos. Het orakel antwoordde dat het
altaar van Apollo (dat de vorm van een kubus had) verdubbeld moest worden om de
epidemie op te heffen. Gedachteloos begon men een altaar te bouwen met zijden
dubbel zo groot als het oorspronkelijke. Maar de inhoud was helaas nu 8 keer zo
groot. De goden waren vertoornd geraakt door deze blunder en de epidemie
verergde. Men besloot ten einde raad Plato te raadplegen. Die zei: "De
goden gaven ons deze opdracht niet omdat zij een groter altaar wilden, maar als
verwijt dat wij de mathematica en geometrie verwaarlozen!" Vanaf die
tijd wordt de verdubbeling van de kubus ook wel het "Delian Problem"
genoemd.
Ondanks talloze pogingen bleek men niet in staat deze problemen op te lossen. En het sneue is: deze drie problemen
zijn niet op te lossen, zo is later bewezen. Het bewijs daarvan is nogal
lastig.
Natuurlijk waren er wel een aantal "valsspelers"; zij ontwikkelden
krommen of speciale apparaten om de problemen wél op te lossen. Maar natuurlijk
zijn dit niet "echte" constructies: Euclides zou zich omdraaien
in zijn graf!!!
Een paar zulke notoire valsspelers:
|
